Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69020 / 72606
↖ ↑ ↗
← S 19.056926°
E  9.569092°		 ← 288.69 m → S 19.056926°
E  9.571839°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
S 19.059522°
E  9.569092°		 ← 288.68 m →
83 335 m²		 S 19.059522°
E  9.571839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526584625244141 y=0.553943634033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526584625244141 × 217)
    floor (0.526584625244141 × 131072)
    floor (69020.5)     		tx = 69020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553943634033203 × 217)
    floor (0.553943634033203 × 131072)
    floor (72606.5)     		ty = 72606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69020 / 72606 ti = "17/69020/72606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69020/72606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69020 ÷ 217
    69020 ÷ 131072     		x = 0.526580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72606 ÷ 217
    72606 ÷ 131072     		y = 0.553939819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526580810546875 × 2 - 1) × π
    0.05316162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16701216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553939819335938 × 2 - 1) × π
    -0.107879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.338913880313797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16701216} λ = 0.16701216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338913880313797))-π/2
    2×atan(0.712543810496307)-π/2
    2×0.619095112658199-π/2
    1.2381902253164-1.57079632675     		φ = -0.33260610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16701216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.569092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33260610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.056926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69020 KachelY 72606 0.16701216 -0.33260610 9.569092 -19.056926
    Oben rechts KachelX + 1 69021 KachelY 72606 0.16706010 -0.33260610 9.571839 -19.056926
    Unten links KachelX 69020 KachelY + 1 72607 0.16701216 -0.33265141 9.569092 -19.059522
    Unten rechts KachelX + 1 69021 KachelY + 1 72607 0.16706010 -0.33265141 9.571839 -19.059522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33260610--0.33265141) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dl = 288.670009999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33260610--0.33265141) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dr = 288.670009999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16701216-0.16706010) × cos(-0.33260610) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945194643304878 × 6371000     		do = 288.686773375406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16701216-0.16706010) × cos(-0.33265141) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94517984828407 × 6371000     		du = 288.682254595228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33260610)-sin(-0.33265141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945194643304878-0.94517984828407)×R²
    abs(0.16706010-0.16701216)×1.47950208078118e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47950208078118e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47950208078118e-05×40589641000000     		ar = 83334.5615531773m²