Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6902 / 2092
↖ ↑ ↗
← N 78.988187°
W 28.344726°		 ← 466.68 m → N 78.988187°
W 28.322754°		 →
↑
466.80 m
↓
↑
466.80 m
↓
N 78.983989°
W 28.344726°		 ← 466.86 m →
217 890 m²		 N 78.983989°
W 28.322754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421295166015625 y=0.127716064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421295166015625 × 214)
    floor (0.421295166015625 × 16384)
    floor (6902.5)     		tx = 6902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127716064453125 × 214)
    floor (0.127716064453125 × 16384)
    floor (2092.5)     		ty = 2092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6902 / 2092 ti = "14/6902/2092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6902/2092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6902 ÷ 214
    6902 ÷ 16384     		x = 0.4212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2092 ÷ 214
    2092 ÷ 16384     		y = 0.127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49470880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49470880} λ = -0.49470880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33932070145874))-π/2
    2×atan(10.3741869985287)-π/2
    2×1.47470012729446-π/2
    2.94940025458893-1.57079632675     		φ = 1.37860393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49470880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.344726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37860393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.988187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6902 KachelY 2092 -0.49470880 1.37860393 -28.344726 78.988187
    Oben rechts KachelX + 1 6903 KachelY 2092 -0.49432531 1.37860393 -28.322754 78.988187
    Unten links KachelX 6902 KachelY + 1 2093 -0.49470880 1.37853066 -28.344726 78.983989
    Unten rechts KachelX + 1 6903 KachelY + 1 2093 -0.49432531 1.37853066 -28.322754 78.983989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37860393-1.37853066) × R
    7.32699999999031e-05 × 6371000     		dl = 466.803169999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37860393-1.37853066) × R
    7.32699999999031e-05 × 6371000     		dr = 466.803169999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49470880--0.49432531) × cos(1.37860393) × R
    0.000383489999999986 × 0.191011382304673 × 6371000     		do = 466.681834305104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49470880--0.49432531) × cos(1.37853066) × R
    0.000383489999999986 × 0.191083302731587 × 6371000     		du = 466.857551355844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37860393)-sin(1.37853066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191011382304673-0.191083302731587)×R²
    abs(-0.49432531--0.49470880)×7.19204269143958e-05×R²
    0.000383489999999986×7.19204269143958e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.19204269143958e-05×40589641000000     		ar = 217889.572370266m²