Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69019 / 72599
↖ ↑ ↗
← S 19.038753°
E  9.566345°		 ← 288.72 m → S 19.038753°
E  9.569092°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
S 19.041349°
E  9.566345°		 ← 288.71 m →
83 344 m²		 S 19.041349°
E  9.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526576995849609 y=0.553890228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526576995849609 × 217)
    floor (0.526576995849609 × 131072)
    floor (69019.5)     		tx = 69019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553890228271484 × 217)
    floor (0.553890228271484 × 131072)
    floor (72599.5)     		ty = 72599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69019 / 72599 ti = "17/69019/72599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69019/72599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69019 ÷ 217
    69019 ÷ 131072     		x = 0.526573181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72599 ÷ 217
    72599 ÷ 131072     		y = 0.553886413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526573181152344 × 2 - 1) × π
    0.0531463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16696422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553886413574219 × 2 - 1) × π
    -0.107772827148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.338578322016457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16696422} λ = 0.16696422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338578322016457))-π/2
    2×atan(0.712782950604617)-π/2
    2×0.619253705295767-π/2
    1.23850741059153-1.57079632675     		φ = -0.33228892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16696422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.566345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33228892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.038753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69019 KachelY 72599 0.16696422 -0.33228892 9.566345 -19.038753
    Oben rechts KachelX + 1 69020 KachelY 72599 0.16701216 -0.33228892 9.569092 -19.038753
    Unten links KachelX 69019 KachelY + 1 72600 0.16696422 -0.33233423 9.566345 -19.041349
    Unten rechts KachelX + 1 69020 KachelY + 1 72600 0.16701216 -0.33233423 9.569092 -19.041349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33228892--0.33233423) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dl = 288.670010000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33228892--0.33233423) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dr = 288.670010000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16696422-0.16701216) × cos(-0.33228892) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945298157377443 × 6371000     		do = 288.71838923762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16696422-0.16701216) × cos(-0.33233423) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945283375941067 × 6371000     		du = 288.713874606477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33228892)-sin(-0.33233423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945298157377443-0.945283375941067)×R²
    abs(0.16701216-0.16696422)×1.47814363755661e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47814363755661e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47814363755661e-05×40589641000000     		ar = 83343.6887034469m²