Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69017 / 73064
↖ ↑ ↗
← S 20.241583°
E  9.560852°		 ← 286.50 m → S 20.241583°
E  9.563598°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
S 20.244160°
E  9.560852°		 ← 286.50 m →
82 084 m²		 S 20.244160°
E  9.563598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526561737060547 y=0.557437896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526561737060547 × 217)
    floor (0.526561737060547 × 131072)
    floor (69017.5)     		tx = 69017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557437896728516 × 217)
    floor (0.557437896728516 × 131072)
    floor (73064.5)     		ty = 73064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69017 / 73064 ti = "17/69017/73064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69017/73064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69017 ÷ 217
    69017 ÷ 131072     		x = 0.526557922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73064 ÷ 217
    73064 ÷ 131072     		y = 0.55743408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526557922363281 × 2 - 1) × π
    0.0531158447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16686835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.1148681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.360868980339783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16686835} λ = 0.16686835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.360868980339783))-π/2
    2×atan(0.697070322400915)-π/2
    2×0.608757030394223-π/2
    1.21751406078845-1.57079632675     		φ = -0.35328227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16686835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.560852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35328227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.241583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69017 KachelY 73064 0.16686835 -0.35328227 9.560852 -20.241583
    Oben rechts KachelX + 1 69018 KachelY 73064 0.16691628 -0.35328227 9.563598 -20.241583
    Unten links KachelX 69017 KachelY + 1 73065 0.16686835 -0.35332724 9.560852 -20.244160
    Unten rechts KachelX + 1 69018 KachelY + 1 73065 0.16691628 -0.35332724 9.563598 -20.244160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35328227--0.35332724) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35328227--0.35332724) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16686835-0.16691628) × cos(-0.35328227) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.938242171615994 × 6371000     		do = 286.503534156278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16686835-0.16691628) × cos(-0.35332724) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.938226611981334 × 6371000     		du = 286.498782834652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35328227)-sin(-0.35332724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938242171615994-0.938226611981334)×R²
    abs(0.16691628-0.16686835)×1.555963465949e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.555963465949e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.555963465949e-05×40589641000000     		ar = 82083.6906822097m²