Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69016 / 73063
↖ ↑ ↗
← S 20.239006°
E  9.558105°		 ← 286.57 m → S 20.239006°
E  9.560852°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
S 20.241583°
E  9.558105°		 ← 286.56 m →
82 120 m²		 S 20.241583°
E  9.560852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526554107666016 y=0.557430267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526554107666016 × 217)
    floor (0.526554107666016 × 131072)
    floor (69016.5)     		tx = 69016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557430267333984 × 217)
    floor (0.557430267333984 × 131072)
    floor (73063.5)     		ty = 73063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69016 / 73063 ti = "17/69016/73063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69016/73063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69016 ÷ 217
    69016 ÷ 131072     		x = 0.52655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73063 ÷ 217
    73063 ÷ 131072     		y = 0.557426452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52655029296875 × 2 - 1) × π
    0.0531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16682041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557426452636719 × 2 - 1) × π
    -0.114852905273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.360821043440163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16682041} λ = 0.16682041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.360821043440163))-π/2
    2×atan(0.697103738591916)-π/2
    2×0.608779518791135-π/2
    1.21755903758227-1.57079632675     		φ = -0.35323729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16682041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35323729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.239006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69016 KachelY 73063 0.16682041 -0.35323729 9.558105 -20.239006
    Oben rechts KachelX + 1 69017 KachelY 73063 0.16686835 -0.35323729 9.560852 -20.239006
    Unten links KachelX 69016 KachelY + 1 73064 0.16682041 -0.35328227 9.558105 -20.241583
    Unten rechts KachelX + 1 69017 KachelY + 1 73064 0.16686835 -0.35328227 9.560852 -20.241583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35323729--0.35328227) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dl = 286.567580000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35323729--0.35328227) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dr = 286.567580000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16682041-0.16686835) × cos(-0.35323729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938257732812616 × 6371000     		do = 286.568062354993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16682041-0.16686835) × cos(-0.35328227) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.938242171615994 × 6371000     		du = 286.563309565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35323729)-sin(-0.35328227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938257732812616-0.938242171615994)×R²
    abs(0.16686835-0.16682041)×1.55611966218272e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.55611966218272e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.55611966218272e-05×40589641000000     		ar = 82120.4351505005m²