Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69015 / 64760
↖ ↑ ↗
← N  2.130856°
E  9.555359°		 ← 305.21 m → N  2.130856°
E  9.558105°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  2.128111°
E  9.555359°		 ← 305.22 m →
93 162 m²		 N  2.128111°
E  9.558105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526546478271484 y=0.494083404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526546478271484 × 217)
    floor (0.526546478271484 × 131072)
    floor (69015.5)     		tx = 69015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494083404541016 × 217)
    floor (0.494083404541016 × 131072)
    floor (64760.5)     		ty = 64760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69015 / 64760 ti = "17/69015/64760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69015/64760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69015 ÷ 217
    69015 ÷ 131072     		x = 0.526542663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64760 ÷ 217
    64760 ÷ 131072     		y = 0.49407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526542663574219 × 2 - 1) × π
    0.0530853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16677247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49407958984375 × 2 - 1) × π
    0.0118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0371990341051636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16677247} λ = 0.16677247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0371990341051636))-π/2
    2×atan(1.03789957769524)-π/2
    2×0.803993392363529-π/2
    1.60798678472706-1.57079632675     		φ = 0.03719046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16677247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.555359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03719046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.130856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69015 KachelY 64760 0.16677247 0.03719046 9.555359 2.130856
    Oben rechts KachelX + 1 69016 KachelY 64760 0.16682041 0.03719046 9.558105 2.130856
    Unten links KachelX 69015 KachelY + 1 64761 0.16677247 0.03714255 9.555359 2.128111
    Unten rechts KachelX + 1 69016 KachelY + 1 64761 0.16682041 0.03714255 9.558105 2.128111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03719046-0.03714255) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03719046-0.03714255) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16677247-0.16682041) × cos(0.03719046) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999308514549214 × 6371000     		do = 305.214542544471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16677247-0.16682041) × cos(0.03714255) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999310294786547 × 6371000     		du = 305.215086274776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03719046)-sin(0.03714255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999308514549214-0.999310294786547)×R²
    abs(0.16682041-0.16677247)×1.78023733343746e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.78023733343746e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78023733343746e-06×40589641000000     		ar = 93162.1248603556m²