Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69014 / 73067
↖ ↑ ↗
← S 20.249313°
E  9.552612°		 ← 286.49 m → S 20.249313°
E  9.555359°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
S 20.251891°
E  9.552612°		 ← 286.48 m →
82 098 m²		 S 20.251891°
E  9.555359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526538848876953 y=0.557460784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526538848876953 × 217)
    floor (0.526538848876953 × 131072)
    floor (69014.5)     		tx = 69014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557460784912109 × 217)
    floor (0.557460784912109 × 131072)
    floor (73067.5)     		ty = 73067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69014 / 73067 ti = "17/69014/73067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69014/73067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69014 ÷ 217
    69014 ÷ 131072     		x = 0.526535034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73067 ÷ 217
    73067 ÷ 131072     		y = 0.557456970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526535034179688 × 2 - 1) × π
    0.053070068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16672454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557456970214844 × 2 - 1) × π
    -0.114913940429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.361012791038643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16672454} λ = 0.16672454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361012791038643))-π/2
    2×atan(0.696970083438586)-π/2
    2×0.608689567441469-π/2
    1.21737913488294-1.57079632675     		φ = -0.35341719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16672454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.552612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35341719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.249313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69014 KachelY 73067 0.16672454 -0.35341719 9.552612 -20.249313
    Oben rechts KachelX + 1 69015 KachelY 73067 0.16677247 -0.35341719 9.555359 -20.249313
    Unten links KachelX 69014 KachelY + 1 73068 0.16672454 -0.35346217 9.552612 -20.251891
    Unten rechts KachelX + 1 69015 KachelY + 1 73068 0.16677247 -0.35346217 9.555359 -20.251891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35341719--0.35346217) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dl = 286.567580000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35341719--0.35346217) × R
    4.49800000000278e-05 × 6371000     		dr = 286.567580000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16672454-0.16677247) × cos(-0.35341719) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.938195483558859 × 6371000     		do = 286.489277396374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16672454-0.16677247) × cos(-0.35346217) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.938179914770263 × 6371000     		du = 286.484523279484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35341719)-sin(-0.35346217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938195483558859-0.938179914770263)×R²
    abs(0.16677247-0.16672454)×1.55687885966538e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.55687885966538e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.55687885966538e-05×40589641000000     		ar = 82097.8577454503m²