Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6901 / 2124
↖ ↑ ↗
← N 78.853070°
W 28.366699°		 ← 472.35 m → N 78.853070°
W 28.344726°		 →
↑
472.41 m
↓
↑
472.41 m
↓
N 78.848821°
W 28.366699°		 ← 472.53 m →
223 184 m²		 N 78.848821°
W 28.344726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421234130859375 y=0.129669189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421234130859375 × 214)
    floor (0.421234130859375 × 16384)
    floor (6901.5)     		tx = 6901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129669189453125 × 214)
    floor (0.129669189453125 × 16384)
    floor (2124.5)     		ty = 2124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6901 / 2124 ti = "14/6901/2124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6901/2124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6901 ÷ 214
    6901 ÷ 16384     		x = 0.42120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2124 ÷ 214
    2124 ÷ 16384     		y = 0.129638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.1575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49509230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129638671875 × 2 - 1) × π
    0.74072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32704885515601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49509230} λ = -0.49509230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32704885515601))-π/2
    2×atan(10.2476545514975)-π/2
    2×1.47352100969588-π/2
    2.94704201939176-1.57079632675     		φ = 1.37624569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49509230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.366699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37624569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.853070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6901 KachelY 2124 -0.49509230 1.37624569 -28.366699 78.853070
    Oben rechts KachelX + 1 6902 KachelY 2124 -0.49470880 1.37624569 -28.344726 78.853070
    Unten links KachelX 6901 KachelY + 1 2125 -0.49509230 1.37617154 -28.366699 78.848821
    Unten rechts KachelX + 1 6902 KachelY + 1 2125 -0.49470880 1.37617154 -28.344726 78.848821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37624569-1.37617154) × R
    7.4149999999884e-05 × 6371000     		dl = 472.409649999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37624569-1.37617154) × R
    7.4149999999884e-05 × 6371000     		dr = 472.409649999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49509230--0.49470880) × cos(1.37624569) × R
    0.000383499999999981 × 0.193325668688735 × 6371000     		do = 472.348449805286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49509230--0.49470880) × cos(1.37617154) × R
    0.000383499999999981 × 0.193398419290902 × 6371000     		du = 472.526199787424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37624569)-sin(1.37617154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193325668688735-0.193398419290902)×R²
    abs(-0.49470880--0.49509230)×7.27506021672708e-05×R²
    0.000383499999999981×7.27506021672708e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.27506021672708e-05×40589641000000     		ar = 223183.951357191m²