Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69008 / 72881
↖ ↑ ↗
← S 19.769288°
E  9.536133°		 ← 287.36 m → S 19.769288°
E  9.538879°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
S 19.771873°
E  9.536133°		 ← 287.36 m →
82 587 m²		 S 19.771873°
E  9.538879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526493072509766 y=0.556041717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526493072509766 × 217)
    floor (0.526493072509766 × 131072)
    floor (69008.5)     		tx = 69008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556041717529297 × 217)
    floor (0.556041717529297 × 131072)
    floor (72881.5)     		ty = 72881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69008 / 72881 ti = "17/69008/72881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69008/72881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69008 ÷ 217
    69008 ÷ 131072     		x = 0.5264892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72881 ÷ 217
    72881 ÷ 131072     		y = 0.556037902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5264892578125 × 2 - 1) × π
    0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556037902832031 × 2 - 1) × π
    -0.112075805664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.352096527709312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16643692} λ = 0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.352096527709312))-π/2
    2×atan(0.703212239233497)-π/2
    2×0.61287857779556-π/2
    1.22575715559112-1.57079632675     		φ = -0.34503917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34503917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.769288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69008 KachelY 72881 0.16643692 -0.34503917 9.536133 -19.769288
    Oben rechts KachelX + 1 69009 KachelY 72881 0.16648485 -0.34503917 9.538879 -19.769288
    Unten links KachelX 69008 KachelY + 1 72882 0.16643692 -0.34508428 9.536133 -19.771873
    Unten rechts KachelX + 1 69009 KachelY + 1 72882 0.16648485 -0.34508428 9.538879 -19.771873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34503917--0.34508428) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34503917--0.34508428) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16643692-0.16648485) × cos(-0.34503917) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.941062204720728 × 6371000     		do = 287.364665189806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16643692-0.16648485) × cos(-0.34508428) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.941046946048303 × 6371000     		du = 287.36000577062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34503917)-sin(-0.34508428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941062204720728-0.941046946048303)×R²
    abs(0.16648485-0.16643692)×1.52586724246895e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.52586724246895e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.52586724246895e-05×40589641000000     		ar = 82586.7311828586m²