Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69001 / 44250
↖ ↑ ↗
← N 50.355975°
E  9.516907°		 ← 194.83 m → N 50.355975°
E  9.519653°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
N 50.354223°
E  9.516907°		 ← 194.83 m →
37 958 m²		 N 50.354223°
E  9.519653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526439666748047 y=0.337604522705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526439666748047 × 217)
    floor (0.526439666748047 × 131072)
    floor (69001.5)     		tx = 69001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337604522705078 × 217)
    floor (0.337604522705078 × 131072)
    floor (44250.5)     		ty = 44250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69001 / 44250 ti = "17/69001/44250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69001/44250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69001 ÷ 217
    69001 ÷ 131072     		x = 0.526435852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44250 ÷ 217
    44250 ÷ 131072     		y = 0.337600708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526435852050781 × 2 - 1) × π
    0.0528717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16610136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337600708007812 × 2 - 1) × π
    0.324798583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02038484531252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16610136} λ = 0.16610136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02038484531252))-π/2
    2×atan(2.77426222035952)-π/2
    2×1.22483695083398-π/2
    2.44967390166797-1.57079632675     		φ = 0.87887757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16610136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.516907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87887757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.355975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69001 KachelY 44250 0.16610136 0.87887757 9.516907 50.355975
    Oben rechts KachelX + 1 69002 KachelY 44250 0.16614929 0.87887757 9.519653 50.355975
    Unten links KachelX 69001 KachelY + 1 44251 0.16610136 0.87884699 9.516907 50.354223
    Unten rechts KachelX + 1 69002 KachelY + 1 44251 0.16614929 0.87884699 9.519653 50.354223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87887757-0.87884699) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87887757-0.87884699) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16610136-0.16614929) × cos(0.87887757) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.638015843099666 × 6371000     		do = 194.825813021082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16610136-0.16614929) × cos(0.87884699) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.638039390111903 × 6371000     		du = 194.833003384539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87887757)-sin(0.87884699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638015843099666-0.638039390111903)×R²
    abs(0.16614929-0.16610136)×2.35470122368353e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35470122368353e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35470122368353e-05×40589641000000     		ar = 37957.6745254093m²