Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 690 / 435
↖ ↑ ↗
← N 80.371707°
W119.355469°		 ← 1 634.59 m → N 80.371707°
W119.267578°		 →
↑
1 635.82 m
↓
↑
1 635.82 m
↓
N 80.356996°
W119.355469°		 ← 1 637.06 m →
2 675 910 m²		 N 80.356996°
W119.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1685791015625 y=0.1063232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1685791015625 × 212)
    floor (0.1685791015625 × 4096)
    floor (690.5)     		tx = 690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1063232421875 × 212)
    floor (0.1063232421875 × 4096)
    floor (435.5)     		ty = 435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 690 / 435 ti = "12/690/435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/690/435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 690 ÷ 212
    690 ÷ 4096     		x = 0.16845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 435 ÷ 212
    435 ÷ 4096     		y = 0.106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16845703125 × 2 - 1) × π
    -0.6630859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.08314591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106201171875 × 2 - 1) × π
    0.78759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47431101078882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08314591} λ = -2.08314591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47431101078882))-π/2
    2×atan(11.8735235646001)-π/2
    2×1.48677361741532-π/2
    2.97354723483065-1.57079632675     		φ = 1.40275091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08314591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40275091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.371707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 690 KachelY 435 -2.08314591 1.40275091 -119.355469 80.371707
    Oben rechts KachelX + 1 691 KachelY 435 -2.08161193 1.40275091 -119.267578 80.371707
    Unten links KachelX 690 KachelY + 1 436 -2.08314591 1.40249415 -119.355469 80.356996
    Unten rechts KachelX + 1 691 KachelY + 1 436 -2.08161193 1.40249415 -119.267578 80.356996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40275091-1.40249415) × R
    0.000256759999999856 × 6371000     		dl = 1635.81795999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40275091-1.40249415) × R
    0.000256759999999856 × 6371000     		dr = 1635.81795999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08314591--2.08161193) × cos(1.40275091) × R
    0.0015339799999996 × 0.167255619689355 × 6371000     		do = 1634.58692665323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08314591--2.08161193) × cos(1.40249415) × R
    0.0015339799999996 × 0.167508757340305 × 6371000     		du = 1637.06083751885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40275091)-sin(1.40249415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167255619689355-0.167508757340305)×R²
    abs(-2.08161193--2.08314591)×0.000253137650950225×R²
    0.0015339799999996×0.000253137650950225×6371000²
    0.0015339799999996×0.000253137650950225×40589641000000     		ar = 2675910.100418m²