Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68996 / 72332
↖ ↑ ↗
← S 18.344098°
E  9.503174°		 ← 289.91 m → S 18.344098°
E  9.505920°		 →
↑
289.94 m
↓
↑
289.94 m
↓
S 18.346705°
E  9.503174°		 ← 289.90 m →
84 056 m²		 S 18.346705°
E  9.505920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526401519775391 y=0.551853179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526401519775391 × 217)
    floor (0.526401519775391 × 131072)
    floor (68996.5)     		tx = 68996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551853179931641 × 217)
    floor (0.551853179931641 × 131072)
    floor (72332.5)     		ty = 72332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68996 / 72332 ti = "17/68996/72332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68996/72332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68996 ÷ 217
    68996 ÷ 131072     		x = 0.526397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72332 ÷ 217
    72332 ÷ 131072     		y = 0.551849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526397705078125 × 2 - 1) × π
    0.05279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16586167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.10369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.325779169817902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16586167} λ = 0.16586167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325779169817902))-π/2
    2×atan(0.721964601403756)-π/2
    2×0.625315710924604-π/2
    1.25063142184921-1.57079632675     		φ = -0.32016490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16586167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32016490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.344098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68996 KachelY 72332 0.16586167 -0.32016490 9.503174 -18.344098
    Oben rechts KachelX + 1 68997 KachelY 72332 0.16590961 -0.32016490 9.505920 -18.344098
    Unten links KachelX 68996 KachelY + 1 72333 0.16586167 -0.32021041 9.503174 -18.346705
    Unten rechts KachelX + 1 68997 KachelY + 1 72333 0.16590961 -0.32021041 9.505920 -18.346705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32016490--0.32021041) × R
    4.55100000000264e-05 × 6371000     		dl = 289.944210000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32016490--0.32021041) × R
    4.55100000000264e-05 × 6371000     		dr = 289.944210000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16586167-0.16590961) × cos(-0.32016490) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.949183533151021 × 6371000     		do = 289.905083008611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16586167-0.16590961) × cos(-0.32021041) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.94916920912046 × 6371000     		du = 289.900708080977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32016490)-sin(-0.32021041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949183533151021-0.94916920912046)×R²
    abs(0.16590961-0.16586167)×1.43240305606751e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43240305606751e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43240305606751e-05×40589641000000     		ar = 84055.6660400506m²