Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68996 / 44084
↖ ↑ ↗
← N 50.645977°
E  9.503174°		 ← 193.67 m → N 50.645977°
E  9.505920°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 50.644236°
E  9.503174°		 ← 193.68 m →
37 511 m²		 N 50.644236°
E  9.505920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526401519775391 y=0.336338043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526401519775391 × 217)
    floor (0.526401519775391 × 131072)
    floor (68996.5)     		tx = 68996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336338043212891 × 217)
    floor (0.336338043212891 × 131072)
    floor (44084.5)     		ty = 44084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68996 / 44084 ti = "17/68996/44084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68996/44084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68996 ÷ 217
    68996 ÷ 131072     		x = 0.526397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44084 ÷ 217
    44084 ÷ 131072     		y = 0.336334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526397705078125 × 2 - 1) × π
    0.05279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16586167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336334228515625 × 2 - 1) × π
    0.32733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02834237064944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16586167} λ = 0.16586167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02834237064944))-π/2
    2×atan(2.79642655192658)-π/2
    2×1.22736769213108-π/2
    2.45473538426215-1.57079632675     		φ = 0.88393906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16586167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88393906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.645977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68996 KachelY 44084 0.16586167 0.88393906 9.503174 50.645977
    Oben rechts KachelX + 1 68997 KachelY 44084 0.16590961 0.88393906 9.505920 50.645977
    Unten links KachelX 68996 KachelY + 1 44085 0.16586167 0.88390866 9.503174 50.644236
    Unten rechts KachelX + 1 68997 KachelY + 1 44085 0.16590961 0.88390866 9.505920 50.644236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88393906-0.88390866) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88393906-0.88390866) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16586167-0.16590961) × cos(0.88393906) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63411022228753 × 6371000     		do = 193.673583883831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16586167-0.16590961) × cos(0.88390866) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63413372857167 × 6371000     		du = 193.680763308059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88393906)-sin(0.88390866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63411022228753-0.63413372857167)×R²
    abs(0.16590961-0.16586167)×2.35062841406064e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35062841406064e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35062841406064e-05×40589641000000     		ar = 37511.0851014077m²