Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6899 / 2141
↖ ↑ ↗
← N 78.780624°
W 28.410645°		 ← 475.38 m → N 78.780624°
W 28.388672°		 →
↑
475.47 m
↓
↑
475.47 m
↓
N 78.776348°
W 28.410645°		 ← 475.56 m →
226 070 m²		 N 78.776348°
W 28.388672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421112060546875 y=0.130706787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421112060546875 × 214)
    floor (0.421112060546875 × 16384)
    floor (6899.5)     		tx = 6899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130706787109375 × 214)
    floor (0.130706787109375 × 16384)
    floor (2141.5)     		ty = 2141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6899 / 2141 ti = "14/6899/2141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6899/2141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6899 ÷ 214
    6899 ÷ 16384     		x = 0.42108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2141 ÷ 214
    2141 ÷ 16384     		y = 0.13067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.1578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49585929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13067626953125 × 2 - 1) × π
    0.7386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32052943680768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49585929} λ = -0.49585929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32052943680768))-π/2
    2×atan(10.1810631089833)-π/2
    2×1.47288880464473-π/2
    2.94577760928946-1.57079632675     		φ = 1.37498128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49585929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.410645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37498128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.780624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6899 KachelY 2141 -0.49585929 1.37498128 -28.410645 78.780624
    Oben rechts KachelX + 1 6900 KachelY 2141 -0.49547579 1.37498128 -28.388672 78.780624
    Unten links KachelX 6899 KachelY + 1 2142 -0.49585929 1.37490665 -28.410645 78.776348
    Unten rechts KachelX + 1 6900 KachelY + 1 2142 -0.49547579 1.37490665 -28.388672 78.776348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37498128-1.37490665) × R
    7.46300000000755e-05 × 6371000     		dl = 475.467730000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37498128-1.37490665) × R
    7.46300000000755e-05 × 6371000     		dr = 475.467730000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49585929--0.49547579) × cos(1.37498128) × R
    0.000383499999999981 × 0.194566070272925 × 6371000     		do = 475.379096327303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49585929--0.49547579) × cos(1.37490665) × R
    0.000383499999999981 × 0.194639273508061 × 6371000     		du = 475.557952217842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37498128)-sin(1.37490665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194566070272925-0.194639273508061)×R²
    abs(-0.49547579--0.49585929)×7.32032351362655e-05×R²
    0.000383499999999981×7.32032351362655e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.32032351362655e-05×40589641000000     		ar = 226069.940026977m²