Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6899 / 1808
↖ ↑ ↗
← N 80.118564°
W 28.410645°		 ← 419.29 m → N 80.118564°
W 28.388672°		 →
↑
419.34 m
↓
↑
419.34 m
↓
N 80.114793°
W 28.410645°		 ← 419.45 m →
175 858 m²		 N 80.114793°
W 28.388672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421112060546875 y=0.110382080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421112060546875 × 214)
    floor (0.421112060546875 × 16384)
    floor (6899.5)     		tx = 6899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110382080078125 × 214)
    floor (0.110382080078125 × 16384)
    floor (1808.5)     		ty = 1808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6899 / 1808 ti = "14/6899/1808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6899/1808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6899 ÷ 214
    6899 ÷ 16384     		x = 0.42108154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1808 ÷ 214
    1808 ÷ 16384     		y = 0.1103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42108154296875 × 2 - 1) × π
    -0.1578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49585929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1103515625 × 2 - 1) × π
    0.779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44823333739551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49585929} λ = -0.49585929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44823333739551))-π/2
    2×atan(11.5678920939575)-π/2
    2×1.484564529219-π/2
    2.96912905843801-1.57079632675     		φ = 1.39833273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49585929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.410645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39833273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.118564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6899 KachelY 1808 -0.49585929 1.39833273 -28.410645 80.118564
    Oben rechts KachelX + 1 6900 KachelY 1808 -0.49547579 1.39833273 -28.388672 80.118564
    Unten links KachelX 6899 KachelY + 1 1809 -0.49585929 1.39826691 -28.410645 80.114793
    Unten rechts KachelX + 1 6900 KachelY + 1 1809 -0.49547579 1.39826691 -28.388672 80.114793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39833273-1.39826691) × R
    6.58199999998832e-05 × 6371000     		dl = 419.339219999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39833273-1.39826691) × R
    6.58199999998832e-05 × 6371000     		dr = 419.339219999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49585929--0.49547579) × cos(1.39833273) × R
    0.000383499999999981 × 0.171609916673991 × 6371000     		do = 419.290819796333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49585929--0.49547579) × cos(1.39826691) × R
    0.000383499999999981 × 0.171674759861153 × 6371000     		du = 419.449249761398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39833273)-sin(1.39826691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171609916673991-0.171674759861153)×R²
    abs(-0.49547579--0.49585929)×6.48431871621558e-05×R²
    0.000383499999999981×6.48431871621558e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.48431871621558e-05×40589641000000     		ar = 175858.303339388m²