Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68985 / 64761
↖ ↑ ↗
← N  2.128111°
E  9.472962°		 ← 305.15 m → N  2.128111°
E  9.475708°		 →
↑
305.17 m
↓
↑
305.17 m
↓
N  2.125367°
E  9.472962°		 ← 305.15 m →
93 123 m²		 N  2.125367°
E  9.475708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526317596435547 y=0.494091033935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526317596435547 × 217)
    floor (0.526317596435547 × 131072)
    floor (68985.5)     		tx = 68985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494091033935547 × 217)
    floor (0.494091033935547 × 131072)
    floor (64761.5)     		ty = 64761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68985 / 64761 ti = "17/68985/64761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68985/64761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68985 ÷ 217
    68985 ÷ 131072     		x = 0.526313781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64761 ÷ 217
    64761 ÷ 131072     		y = 0.494087219238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526313781738281 × 2 - 1) × π
    0.0526275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16533437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494087219238281 × 2 - 1) × π
    0.0118255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0371510972055435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16533437} λ = 0.16533437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0371510972055435))-π/2
    2×atan(1.03784982519987)-π/2
    2×0.803969440466215-π/2
    1.60793888093243-1.57079632675     		φ = 0.03714255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16533437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.472962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03714255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.128111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68985 KachelY 64761 0.16533437 0.03714255 9.472962 2.128111
    Oben rechts KachelX + 1 68986 KachelY 64761 0.16538230 0.03714255 9.475708 2.128111
    Unten links KachelX 68985 KachelY + 1 64762 0.16533437 0.03709465 9.472962 2.125367
    Unten rechts KachelX + 1 68986 KachelY + 1 64762 0.16538230 0.03709465 9.475708 2.125367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03714255-0.03709465) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dl = 305.170900000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03714255-0.03709465) × R
    4.79000000000035e-05 × 6371000     		dr = 305.170900000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16533437-0.16538230) × cos(0.03714255) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999310294786547 × 6371000     		do = 305.151420215929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16533437-0.16538230) × cos(0.03709465) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999312072359234 × 6371000     		du = 305.151963019133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03714255)-sin(0.03709465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999310294786547-0.999312072359234)×R²
    abs(0.16538230-0.16533437)×1.77757268715606e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.77757268715606e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.77757268715606e-06×40589641000000     		ar = 93123.4163852615m²