Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68982 / 72894
↖ ↑ ↗
← S 19.802886°
E  9.464722°		 ← 287.30 m → S 19.802886°
E  9.467468°		 →
↑
287.33 m
↓
↑
287.33 m
↓
S 19.805470°
E  9.464722°		 ← 287.30 m →
82 551 m²		 S 19.805470°
E  9.467468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526294708251953 y=0.556140899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526294708251953 × 217)
    floor (0.526294708251953 × 131072)
    floor (68982.5)     		tx = 68982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556140899658203 × 217)
    floor (0.556140899658203 × 131072)
    floor (72894.5)     		ty = 72894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68982 / 72894 ti = "17/68982/72894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68982/72894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68982 ÷ 217
    68982 ÷ 131072     		x = 0.526290893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72894 ÷ 217
    72894 ÷ 131072     		y = 0.556137084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526290893554688 × 2 - 1) × π
    0.052581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16519056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556137084960938 × 2 - 1) × π
    -0.112274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.352719707404373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16519056} λ = 0.16519056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.352719707404373))-π/2
    2×atan(0.702774148163596)-π/2
    2×0.612585383284502-π/2
    1.225170766569-1.57079632675     		φ = -0.34562556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16519056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.464722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34562556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.802886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68982 KachelY 72894 0.16519056 -0.34562556 9.464722 -19.802886
    Oben rechts KachelX + 1 68983 KachelY 72894 0.16523849 -0.34562556 9.467468 -19.802886
    Unten links KachelX 68982 KachelY + 1 72895 0.16519056 -0.34567066 9.464722 -19.805470
    Unten rechts KachelX + 1 68983 KachelY + 1 72895 0.16523849 -0.34567066 9.467468 -19.805470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34562556--0.34567066) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dl = 287.332100000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34562556--0.34567066) × R
    4.51000000000201e-05 × 6371000     		dr = 287.332100000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16519056-0.16523849) × cos(-0.34562556) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.940863706173575 × 6371000     		do = 287.304051270496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16519056-0.16523849) × cos(-0.34567066) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.940848425999227 × 6371000     		du = 287.299385285438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34562556)-sin(-0.34567066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940863706173575-0.940848425999227)×R²
    abs(0.16523849-0.16519056)×1.52801743478204e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.52801743478204e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.52801743478204e-05×40589641000000     		ar = 82551.0060604633m²