Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68980 / 72875
↖ ↑ ↗
← S 19.753779°
E  9.459228°		 ← 287.45 m → S 19.753779°
E  9.461975°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
S 19.756364°
E  9.459228°		 ← 287.45 m →
82 612 m²		 S 19.756364°
E  9.461975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526279449462891 y=0.555995941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526279449462891 × 217)
    floor (0.526279449462891 × 131072)
    floor (68980.5)     		tx = 68980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555995941162109 × 217)
    floor (0.555995941162109 × 131072)
    floor (72875.5)     		ty = 72875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68980 / 72875 ti = "17/68980/72875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68980/72875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68980 ÷ 217
    68980 ÷ 131072     		x = 0.526275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72875 ÷ 217
    72875 ÷ 131072     		y = 0.555992126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526275634765625 × 2 - 1) × π
    0.05255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16509468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555992126464844 × 2 - 1) × π
    -0.111984252929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.351808906311592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16509468} λ = 0.16509468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351808906311592))-π/2
    2×atan(0.70341452721042)-π/2
    2×0.613013919190296-π/2
    1.22602783838059-1.57079632675     		φ = -0.34476849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16509468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.459228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34476849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.753779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68980 KachelY 72875 0.16509468 -0.34476849 9.459228 -19.753779
    Oben rechts KachelX + 1 68981 KachelY 72875 0.16514262 -0.34476849 9.461975 -19.753779
    Unten links KachelX 68980 KachelY + 1 72876 0.16509468 -0.34481360 9.459228 -19.756364
    Unten rechts KachelX + 1 68981 KachelY + 1 72876 0.16514262 -0.34481360 9.461975 -19.756364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34476849--0.34481360) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34476849--0.34481360) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16509468-0.16514262) × cos(-0.34476849) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941153723299209 × 6371000     		do = 287.452572392394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16509468-0.16514262) × cos(-0.34481360) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941138476117973 × 6371000     		du = 287.447915510782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34476849)-sin(-0.34481360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941153723299209-0.941138476117973)×R²
    abs(0.16514262-0.16509468)×1.52471812366883e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.52471812366883e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.52471812366883e-05×40589641000000     		ar = 82611.9957091717m²