Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6898 / 5351
↖ ↑ ↗
← N 52.816043°
W 28.432617°		 ← 1 476.62 m → N 52.816043°
W 28.410645°		 →
↑
1 476.86 m
↓
↑
1 476.86 m
↓
N 52.802761°
W 28.432617°		 ← 1 477.07 m →
2 181 097 m²		 N 52.802761°
W 28.410645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421051025390625 y=0.326629638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421051025390625 × 214)
    floor (0.421051025390625 × 16384)
    floor (6898.5)     		tx = 6898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326629638671875 × 214)
    floor (0.326629638671875 × 16384)
    floor (5351.5)     		ty = 5351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6898 / 5351 ti = "14/6898/5351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6898/5351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6898 ÷ 214
    6898 ÷ 16384     		x = 0.4210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5351 ÷ 214
    5351 ÷ 16384     		y = 0.32659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.157958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49624278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32659912109375 × 2 - 1) × π
    0.3468017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08950985456464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49624278} λ = -0.49624278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08950985456464))-π/2
    2×atan(2.9728166029181)-π/2
    2×1.24630508917207-π/2
    2.49261017834415-1.57079632675     		φ = 0.92181385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49624278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.432617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92181385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.816043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6898 KachelY 5351 -0.49624278 0.92181385 -28.432617 52.816043
    Oben rechts KachelX + 1 6899 KachelY 5351 -0.49585929 0.92181385 -28.410645 52.816043
    Unten links KachelX 6898 KachelY + 1 5352 -0.49624278 0.92158204 -28.432617 52.802761
    Unten rechts KachelX + 1 6899 KachelY + 1 5352 -0.49585929 0.92158204 -28.410645 52.802761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92181385-0.92158204) × R
    0.000231810000000054 × 6371000     		dl = 1476.86151000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92181385-0.92158204) × R
    0.000231810000000054 × 6371000     		dr = 1476.86151000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49624278--0.49585929) × cos(0.92181385) × R
    0.000383489999999986 × 0.604376058846691 × 6371000     		do = 1476.62052569609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49624278--0.49585929) × cos(0.92158204) × R
    0.000383489999999986 × 0.604560725443044 × 6371000     		du = 1477.07170585552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92181385)-sin(0.92158204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604376058846691-0.604560725443044)×R²
    abs(-0.49585929--0.49624278)×0.000184666596353189×R²
    0.000383489999999986×0.000184666596353189×6371000²
    0.000383489999999986×0.000184666596353189×40589641000000     		ar = 2181097.19435088m²