Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68979 / 72860
↖ ↑ ↗
← S 19.715000°
E  9.456482°		 ← 287.46 m → S 19.715000°
E  9.459228°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
S 19.717586°
E  9.456482°		 ← 287.46 m →
82 633 m²		 S 19.717586°
E  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526271820068359 y=0.555881500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526271820068359 × 217)
    floor (0.526271820068359 × 131072)
    floor (68979.5)     		tx = 68979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555881500244141 × 217)
    floor (0.555881500244141 × 131072)
    floor (72860.5)     		ty = 72860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68979 / 72860 ti = "17/68979/72860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68979/72860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68979 ÷ 217
    68979 ÷ 131072     		x = 0.526268005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72860 ÷ 217
    72860 ÷ 131072     		y = 0.555877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526268005371094 × 2 - 1) × π
    0.0525360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16504675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.11175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.351089852817291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16504675} λ = 0.16504675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351089852817291))-π/2
    2×atan(0.703920501773741)-π/2
    2×0.61335233022084-π/2
    1.22670466044168-1.57079632675     		φ = -0.34409167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16504675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.456482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34409167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.715000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68979 KachelY 72860 0.16504675 -0.34409167 9.456482 -19.715000
    Oben rechts KachelX + 1 68980 KachelY 72860 0.16509468 -0.34409167 9.459228 -19.715000
    Unten links KachelX 68979 KachelY + 1 72861 0.16504675 -0.34413679 9.456482 -19.717586
    Unten rechts KachelX + 1 68980 KachelY + 1 72861 0.16509468 -0.34413679 9.459228 -19.717586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34409167--0.34413679) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34409167--0.34413679) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16504675-0.16509468) × cos(-0.34409167) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.941382258528691 × 6371000     		do = 287.462397470315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16504675-0.16509468) × cos(-0.34413679) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.941367036711563 × 6371000     		du = 287.457749305337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34409167)-sin(-0.34413679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941382258528691-0.941367036711563)×R²
    abs(0.16509468-0.16504675)×1.5221817127431e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.5221817127431e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.5221817127431e-05×40589641000000     		ar = 82633.1347292988m²