Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68978 / 72876
↖ ↑ ↗
← S 19.756364°
E  9.453735°		 ← 287.45 m → S 19.756364°
E  9.456482°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
S 19.758949°
E  9.453735°		 ← 287.44 m →
82 629 m²		 S 19.758949°
E  9.456482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526264190673828 y=0.556003570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526264190673828 × 217)
    floor (0.526264190673828 × 131072)
    floor (68978.5)     		tx = 68978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556003570556641 × 217)
    floor (0.556003570556641 × 131072)
    floor (72876.5)     		ty = 72876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68978 / 72876 ti = "17/68978/72876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68978/72876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68978 ÷ 217
    68978 ÷ 131072     		x = 0.526260375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72876 ÷ 217
    72876 ÷ 131072     		y = 0.555999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526260375976562 × 2 - 1) × π
    0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555999755859375 × 2 - 1) × π
    -0.11199951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.351856843211212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16499881} λ = 0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351856843211212))-π/2
    2×atan(0.70338080850703)-π/2
    2×0.612991361377248-π/2
    1.2259827227545-1.57079632675     		φ = -0.34481360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34481360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.756364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68978 KachelY 72876 0.16499881 -0.34481360 9.453735 -19.756364
    Oben rechts KachelX + 1 68979 KachelY 72876 0.16504675 -0.34481360 9.456482 -19.756364
    Unten links KachelX 68978 KachelY + 1 72877 0.16499881 -0.34485872 9.453735 -19.758949
    Unten rechts KachelX + 1 68979 KachelY + 1 72877 0.16504675 -0.34485872 9.456482 -19.758949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34481360--0.34485872) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34481360--0.34485872) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16499881-0.16504675) × cos(-0.34481360) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941138476117973 × 6371000     		do = 287.447915510782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16499881-0.16504675) × cos(-0.34485872) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941123223640965 × 6371000     		du = 287.443257011705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34481360)-sin(-0.34485872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941138476117973-0.941123223640965)×R²
    abs(0.16504675-0.16499881)×1.52524770079543e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.52524770079543e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.52524770079543e-05×40589641000000     		ar = 82628.9702668346m²