Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68978 / 72862
↖ ↑ ↗
← S 19.720171°
E  9.453735°		 ← 287.51 m → S 19.720171°
E  9.456482°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
S 19.722757°
E  9.453735°		 ← 287.51 m →
82 648 m²		 S 19.722757°
E  9.456482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526264190673828 y=0.555896759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526264190673828 × 217)
    floor (0.526264190673828 × 131072)
    floor (68978.5)     		tx = 68978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555896759033203 × 217)
    floor (0.555896759033203 × 131072)
    floor (72862.5)     		ty = 72862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68978 / 72862 ti = "17/68978/72862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68978/72862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68978 ÷ 217
    68978 ÷ 131072     		x = 0.526260375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72862 ÷ 217
    72862 ÷ 131072     		y = 0.555892944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526260375976562 × 2 - 1) × π
    0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555892944335938 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.351185726616531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16499881} λ = 0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351185726616531))-π/2
    2×atan(0.703853017475913)-π/2
    2×0.613307204003756-π/2
    1.22661440800751-1.57079632675     		φ = -0.34418192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34418192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.720171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68978 KachelY 72862 0.16499881 -0.34418192 9.453735 -19.720171
    Oben rechts KachelX + 1 68979 KachelY 72862 0.16504675 -0.34418192 9.456482 -19.720171
    Unten links KachelX 68978 KachelY + 1 72863 0.16499881 -0.34422704 9.453735 -19.722757
    Unten rechts KachelX + 1 68979 KachelY + 1 72863 0.16504675 -0.34422704 9.456482 -19.722757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34418192--0.34422704) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34418192--0.34422704) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16499881-0.16504675) × cos(-0.34418192) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94135180960372 × 6371000     		do = 287.513073048533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16499881-0.16504675) × cos(-0.34422704) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941336583953302 × 6371000     		du = 287.508422742987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34418192)-sin(-0.34422704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94135180960372-0.941336583953302)×R²
    abs(0.16504675-0.16499881)×1.52256504184489e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.52256504184489e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.52256504184489e-05×40589641000000     		ar = 82647.701599055m²