Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68978 / 69615
↖ ↑ ↗
← S 11.132592°
E  9.453735°		 ← 299.68 m → S 11.132592°
E  9.456482°		 →
↑
299.63 m
↓
↑
299.63 m
↓
S 11.135287°
E  9.453735°		 ← 299.68 m →
89 792 m²		 S 11.135287°
E  9.456482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526264190673828 y=0.531124114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526264190673828 × 217)
    floor (0.526264190673828 × 131072)
    floor (68978.5)     		tx = 68978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531124114990234 × 217)
    floor (0.531124114990234 × 131072)
    floor (69615.5)     		ty = 69615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68978 / 69615 ti = "17/68978/69615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68978/69615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68978 ÷ 217
    68978 ÷ 131072     		x = 0.526260375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69615 ÷ 217
    69615 ÷ 131072     		y = 0.531120300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526260375976562 × 2 - 1) × π
    0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531120300292969 × 2 - 1) × π
    -0.0622406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.195534613550209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16499881} λ = 0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195534613550209))-π/2
    2×atan(0.822394877065153)-π/2
    2×0.688247969401932-π/2
    1.37649593880386-1.57079632675     		φ = -0.19430039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19430039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.132592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68978 KachelY 69615 0.16499881 -0.19430039 9.453735 -11.132592
    Oben rechts KachelX + 1 68979 KachelY 69615 0.16504675 -0.19430039 9.456482 -11.132592
    Unten links KachelX 68978 KachelY + 1 69616 0.16499881 -0.19434742 9.453735 -11.135287
    Unten rechts KachelX + 1 68979 KachelY + 1 69616 0.16504675 -0.19434742 9.456482 -11.135287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19430039--0.19434742) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dl = 299.628130000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19430039--0.19434742) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dr = 299.628130000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16499881-0.16504675) × cos(-0.19430039) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981182990455126 × 6371000     		do = 299.678540935147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16499881-0.16504675) × cos(-0.19434742) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981173908811193 × 6371000     		du = 299.675767167328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19430039)-sin(-0.19434742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981182990455126-0.981173908811193)×R²
    abs(0.16504675-0.16499881)×9.08164393276234e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.08164393276234e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.08164393276234e-06×40589641000000     		ar = 89791.7052886135m²