Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68977 / 72878
↖ ↑ ↗
← S 19.761534°
E  9.450989°		 ← 287.44 m → S 19.761534°
E  9.453735°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
S 19.764119°
E  9.450989°		 ← 287.43 m →
82 626 m²		 S 19.764119°
E  9.453735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526256561279297 y=0.556018829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526256561279297 × 217)
    floor (0.526256561279297 × 131072)
    floor (68977.5)     		tx = 68977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556018829345703 × 217)
    floor (0.556018829345703 × 131072)
    floor (72878.5)     		ty = 72878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68977 / 72878 ti = "17/68977/72878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68977/72878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68977 ÷ 217
    68977 ÷ 131072     		x = 0.526252746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72878 ÷ 217
    72878 ÷ 131072     		y = 0.556015014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526252746582031 × 2 - 1) × π
    0.0525054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16495087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556015014648438 × 2 - 1) × π
    -0.112030029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.351952717010452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16495087} λ = 0.16495087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351952717010452))-π/2
    2×atan(0.703313375949165)-π/2
    2×0.612946246847742-π/2
    1.22589249369548-1.57079632675     		φ = -0.34490383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16495087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.450989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34490383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.761534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68977 KachelY 72878 0.16495087 -0.34490383 9.450989 -19.761534
    Oben rechts KachelX + 1 68978 KachelY 72878 0.16499881 -0.34490383 9.453735 -19.761534
    Unten links KachelX 68977 KachelY + 1 72879 0.16495087 -0.34494895 9.450989 -19.764119
    Unten rechts KachelX + 1 68978 KachelY + 1 72879 0.16499881 -0.34494895 9.453735 -19.764119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34490383--0.34494895) × R
    4.51199999999541e-05 × 6371000     		dl = 287.459519999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34490383--0.34494895) × R
    4.51199999999541e-05 × 6371000     		dr = 287.459519999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16495087-0.16499881) × cos(-0.34490383) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941107972629066 × 6371000     		do = 287.43859896011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16495087-0.16499881) × cos(-0.34494895) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941092716320609 × 6371000     		du = 287.43393929081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34490383)-sin(-0.34494895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941107972629066-0.941092716320609)×R²
    abs(0.16499881-0.16495087)×1.52563084567792e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.52563084567792e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.52563084567792e-05×40589641000000     		ar = 82626.2919674102m²