Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68975 / 69611
↖ ↑ ↗
← S 11.121812°
E  9.445496°		 ← 299.63 m → S 11.121812°
E  9.448242°		 →
↑
299.69 m
↓
↑
299.69 m
↓
S 11.124507°
E  9.445496°		 ← 299.62 m →
89 795 m²		 S 11.124507°
E  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526241302490234 y=0.531093597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526241302490234 × 217)
    floor (0.526241302490234 × 131072)
    floor (68975.5)     		tx = 68975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531093597412109 × 217)
    floor (0.531093597412109 × 131072)
    floor (69611.5)     		ty = 69611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68975 / 69611 ti = "17/68975/69611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68975/69611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68975 ÷ 217
    68975 ÷ 131072     		x = 0.526237487792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69611 ÷ 217
    69611 ÷ 131072     		y = 0.531089782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526237487792969 × 2 - 1) × π
    0.0524749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16485500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531089782714844 × 2 - 1) × π
    -0.0621795654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.195342865951729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16485500} λ = 0.16485500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195342865951729))-π/2
    2×atan(0.822552584427353)-π/2
    2×0.688342040883836-π/2
    1.37668408176767-1.57079632675     		φ = -0.19411224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16485500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.445496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19411224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.121812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68975 KachelY 69611 0.16485500 -0.19411224 9.445496 -11.121812
    Oben rechts KachelX + 1 68976 KachelY 69611 0.16490293 -0.19411224 9.448242 -11.121812
    Unten links KachelX 68975 KachelY + 1 69612 0.16485500 -0.19415928 9.445496 -11.124507
    Unten rechts KachelX + 1 68976 KachelY + 1 69612 0.16490293 -0.19415928 9.448242 -11.124507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19411224--0.19415928) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dl = 299.691839999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19411224--0.19415928) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dr = 299.691839999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16485500-0.16490293) × cos(-0.19411224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981219301115512 × 6371000     		do = 299.627117663824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16485500-0.16490293) × cos(-0.19415928) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981210226224471 × 6371000     		du = 299.624346536674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19411224)-sin(-0.19415928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981219301115512-0.981210226224471)×R²
    abs(0.16490293-0.16485500)×9.07489104029491e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.07489104029491e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.07489104029491e-06×40589641000000     		ar = 89795.3869810423m²