Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68973 / 69610
↖ ↑ ↗
← S 11.119117°
E  9.440002°		 ← 299.69 m → S 11.119117°
E  9.442749°		 →
↑
299.63 m
↓
↑
299.63 m
↓
S 11.121812°
E  9.440002°		 ← 299.69 m →
89 796 m²		 S 11.121812°
E  9.442749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526226043701172 y=0.531085968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526226043701172 × 217)
    floor (0.526226043701172 × 131072)
    floor (68973.5)     		tx = 68973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531085968017578 × 217)
    floor (0.531085968017578 × 131072)
    floor (69610.5)     		ty = 69610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68973 / 69610 ti = "17/68973/69610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68973/69610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68973 ÷ 217
    68973 ÷ 131072     		x = 0.526222229003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69610 ÷ 217
    69610 ÷ 131072     		y = 0.531082153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526222229003906 × 2 - 1) × π
    0.0524444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16475912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531082153320312 × 2 - 1) × π
    -0.062164306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.195294929052109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16475912} λ = 0.16475912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195294929052109))-π/2
    2×atan(0.822592015993131)-π/2
    2×0.688365559298111-π/2
    1.37673111859622-1.57079632675     		φ = -0.19406521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16475912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.440002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19406521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.119117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68973 KachelY 69610 0.16475912 -0.19406521 9.440002 -11.119117
    Oben rechts KachelX + 1 68974 KachelY 69610 0.16480706 -0.19406521 9.442749 -11.119117
    Unten links KachelX 68973 KachelY + 1 69611 0.16475912 -0.19411224 9.440002 -11.121812
    Unten rechts KachelX + 1 68974 KachelY + 1 69611 0.16480706 -0.19411224 9.442749 -11.121812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19406521--0.19411224) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dl = 299.628130000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19406521--0.19411224) × R
    4.70300000000035e-05 × 6371000     		dr = 299.628130000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16475912-0.16480706) × cos(-0.19406521) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981228371906854 × 6371000     		do = 299.692401598623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16475912-0.16480706) × cos(-0.19411224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981219301115512 × 6371000     		du = 299.689631145465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19406521)-sin(-0.19411224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981228371906854-0.981219301115512)×R²
    abs(0.16480706-0.16475912)×9.07079134238042e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.07079134238042e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.07079134238042e-06×40589641000000     		ar = 89795.8588299298m²