Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68972 / 44115
↖ ↑ ↗
← N 50.591956°
E  9.437256°		 ← 193.86 m → N 50.591956°
E  9.440002°		 →
↑
193.87 m
↓
↑
193.87 m
↓
N 50.590212°
E  9.437256°		 ← 193.86 m →
37 583 m²		 N 50.590212°
E  9.440002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526218414306641 y=0.336574554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526218414306641 × 217)
    floor (0.526218414306641 × 131072)
    floor (68972.5)     		tx = 68972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336574554443359 × 217)
    floor (0.336574554443359 × 131072)
    floor (44115.5)     		ty = 44115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68972 / 44115 ti = "17/68972/44115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68972/44115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68972 ÷ 217
    68972 ÷ 131072     		x = 0.526214599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44115 ÷ 217
    44115 ÷ 131072     		y = 0.336570739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526214599609375 × 2 - 1) × π
    0.05242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16471119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336570739746094 × 2 - 1) × π
    0.326858520507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.02685632676122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16471119} λ = 0.16471119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02685632676122))-π/2
    2×atan(2.79227402552265)-π/2
    2×1.22689626358834-π/2
    2.45379252717668-1.57079632675     		φ = 0.88299620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16471119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88299620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.591956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68972 KachelY 44115 0.16471119 0.88299620 9.437256 50.591956
    Oben rechts KachelX + 1 68973 KachelY 44115 0.16475912 0.88299620 9.440002 50.591956
    Unten links KachelX 68972 KachelY + 1 44116 0.16471119 0.88296577 9.437256 50.590212
    Unten rechts KachelX + 1 68973 KachelY + 1 44116 0.16475912 0.88296577 9.440002 50.590212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88299620-0.88296577) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dl = 193.869530000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88299620-0.88296577) × R
    3.04300000000257e-05 × 6371000     		dr = 193.869530000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16471119-0.16475912) × cos(0.88299620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634838999905697 × 6371000     		do = 193.85572573438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16471119-0.16475912) × cos(0.88296577) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634862511182343 × 6371000     		du = 193.862905185544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88299620)-sin(0.88296577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634838999905697-0.634862511182343)×R²
    abs(0.16475912-0.16471119)×2.35112766464596e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35112766464596e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35112766464596e-05×40589641000000     		ar = 37583.4143772205m²