Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68971 / 69614
↖ ↑ ↗
← S 11.129897°
E  9.434509°		 ← 299.68 m → S 11.129897°
E  9.437256°		 →
↑
299.69 m
↓
↑
299.69 m
↓
S 11.132592°
E  9.434509°		 ← 299.68 m →
89 812 m²		 S 11.132592°
E  9.437256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526210784912109 y=0.531116485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526210784912109 × 217)
    floor (0.526210784912109 × 131072)
    floor (68971.5)     		tx = 68971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531116485595703 × 217)
    floor (0.531116485595703 × 131072)
    floor (69614.5)     		ty = 69614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68971 / 69614 ti = "17/68971/69614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68971/69614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68971 ÷ 217
    68971 ÷ 131072     		x = 0.526206970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69614 ÷ 217
    69614 ÷ 131072     		y = 0.531112670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526206970214844 × 2 - 1) × π
    0.0524139404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16466325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531112670898438 × 2 - 1) × π
    -0.062225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.195486676650589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16466325} λ = 0.16466325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.195486676650589))-π/2
    2×atan(0.822434301070748)-π/2
    2×0.688271486946029-π/2
    1.37654297389206-1.57079632675     		φ = -0.19425335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16466325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.434509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19425335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.129897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68971 KachelY 69614 0.16466325 -0.19425335 9.434509 -11.129897
    Oben rechts KachelX + 1 68972 KachelY 69614 0.16471119 -0.19425335 9.437256 -11.129897
    Unten links KachelX 68971 KachelY + 1 69615 0.16466325 -0.19430039 9.434509 -11.132592
    Unten rechts KachelX + 1 68972 KachelY + 1 69615 0.16471119 -0.19430039 9.437256 -11.132592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19425335--0.19430039) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dl = 299.691839999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19425335--0.19430039) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dr = 299.691839999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16466325-0.16471119) × cos(-0.19425335) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981192071859198 × 6371000     		do = 299.681314629706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16466325-0.16471119) × cos(-0.19430039) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.981182990455126 × 6371000     		du = 299.678540935147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19425335)-sin(-0.19430039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981192071859198-0.981182990455126)×R²
    abs(0.16471119-0.16466325)×9.08140407152036e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.08140407152036e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.08140407152036e-06×40589641000000     		ar = 89811.6289847581m²