Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68969 / 72838
↖ ↑ ↗
← S 19.658107°
E  9.429016°		 ← 287.56 m → S 19.658107°
E  9.431763°		 →
↑
287.59 m
↓
↑
287.59 m
↓
S 19.660694°
E  9.429016°		 ← 287.56 m →
82 699 m²		 S 19.660694°
E  9.431763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526195526123047 y=0.555713653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526195526123047 × 217)
    floor (0.526195526123047 × 131072)
    floor (68969.5)     		tx = 68969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555713653564453 × 217)
    floor (0.555713653564453 × 131072)
    floor (72838.5)     		ty = 72838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68969 / 72838 ti = "17/68969/72838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68969/72838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68969 ÷ 217
    68969 ÷ 131072     		x = 0.526191711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72838 ÷ 217
    72838 ÷ 131072     		y = 0.555709838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526191711425781 × 2 - 1) × π
    0.0523834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16456738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555709838867188 × 2 - 1) × π
    -0.111419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.35003524102565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16456738} λ = 0.16456738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35003524102565))-π/2
    2×atan(0.70466325622525)-π/2
    2×0.61384881486565-π/2
    1.2276976297313-1.57079632675     		φ = -0.34309870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16456738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.429016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34309870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.658107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68969 KachelY 72838 0.16456738 -0.34309870 9.429016 -19.658107
    Oben rechts KachelX + 1 68970 KachelY 72838 0.16461531 -0.34309870 9.431763 -19.658107
    Unten links KachelX 68969 KachelY + 1 72839 0.16456738 -0.34314384 9.429016 -19.660694
    Unten rechts KachelX + 1 68970 KachelY + 1 72839 0.16461531 -0.34314384 9.431763 -19.660694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34309870--0.34314384) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dl = 287.586939999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34309870--0.34314384) × R
    4.51399999999991e-05 × 6371000     		dr = 287.586939999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16456738-0.16461531) × cos(-0.34309870) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.941716764595624 × 6371000     		do = 287.564542921795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16456738-0.16461531) × cos(-0.34314384) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.941701578233234 × 6371000     		du = 287.559905583347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34309870)-sin(-0.34314384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941716764595624-0.941701578233234)×R²
    abs(0.16461531-0.16456738)×1.51863623900628e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.51863623900628e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.51863623900628e-05×40589641000000     		ar = 82699.1401463914m²