Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68969 / 69592
↖ ↑ ↗
← S 11.070603°
E  9.429016°		 ← 299.68 m → S 11.070603°
E  9.431763°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.073299°
E  9.429016°		 ← 299.68 m →
89 830 m²		 S 11.073299°
E  9.431763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526195526123047 y=0.530948638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526195526123047 × 217)
    floor (0.526195526123047 × 131072)
    floor (68969.5)     		tx = 68969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530948638916016 × 217)
    floor (0.530948638916016 × 131072)
    floor (69592.5)     		ty = 69592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68969 / 69592 ti = "17/68969/69592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68969/69592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68969 ÷ 217
    68969 ÷ 131072     		x = 0.526191711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69592 ÷ 217
    69592 ÷ 131072     		y = 0.53094482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526191711425781 × 2 - 1) × π
    0.0523834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16456738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53094482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.194432064858948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16456738} λ = 0.16456738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194432064858948))-π/2
    2×atan(0.823302107501523)-π/2
    2×0.68878892788528-π/2
    1.37757785577056-1.57079632675     		φ = -0.19321847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16456738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.429016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19321847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.070603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68969 KachelY 69592 0.16456738 -0.19321847 9.429016 -11.070603
    Oben rechts KachelX + 1 68970 KachelY 69592 0.16461531 -0.19321847 9.431763 -11.070603
    Unten links KachelX 68969 KachelY + 1 69593 0.16456738 -0.19326552 9.429016 -11.073299
    Unten rechts KachelX + 1 68970 KachelY + 1 69593 0.16461531 -0.19326552 9.431763 -11.073299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19321847--0.19326552) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dl = 299.755549999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19321847--0.19326552) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dr = 299.755549999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16456738-0.16461531) × cos(-0.19321847) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.981391313413767 × 6371000     		do = 299.67964368823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16456738-0.16461531) × cos(-0.19326552) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.981382277858853 × 6371000     		du = 299.67688457284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19321847)-sin(-0.19326552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981391313413767-0.981382277858853)×R²
    abs(0.16461531-0.16456738)×9.03555491338359e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.03555491338359e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.03555491338359e-06×40589641000000     		ar = 89830.222904058m²