Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68966 / 69590
↖ ↑ ↗
← S 11.065212°
E  9.420777°		 ← 299.69 m → S 11.065212°
E  9.423523°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
S 11.067908°
E  9.420777°		 ← 299.68 m →
89 832 m²		 S 11.067908°
E  9.423523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526172637939453 y=0.530933380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526172637939453 × 217)
    floor (0.526172637939453 × 131072)
    floor (68966.5)     		tx = 68966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530933380126953 × 217)
    floor (0.530933380126953 × 131072)
    floor (69590.5)     		ty = 69590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68966 / 69590 ti = "17/68966/69590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68966/69590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68966 ÷ 217
    68966 ÷ 131072     		x = 0.526168823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69590 ÷ 217
    69590 ÷ 131072     		y = 0.530929565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526168823242188 × 2 - 1) × π
    0.052337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16442357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530929565429688 × 2 - 1) × π
    -0.061859130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.194336191059708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16442357} λ = 0.16442357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194336191059708))-π/2
    2×atan(0.82338104438642)-π/2
    2×0.68883597317512-π/2
    1.37767194635024-1.57079632675     		φ = -0.19312438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16442357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.420777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19312438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.065212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68966 KachelY 69590 0.16442357 -0.19312438 9.420777 -11.065212
    Oben rechts KachelX + 1 68967 KachelY 69590 0.16447150 -0.19312438 9.423523 -11.065212
    Unten links KachelX 68966 KachelY + 1 69591 0.16442357 -0.19317143 9.420777 -11.067908
    Unten rechts KachelX + 1 68967 KachelY + 1 69591 0.16447150 -0.19317143 9.423523 -11.067908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19312438--0.19317143) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dl = 299.755549999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19312438--0.19317143) × R
    4.70499999999929e-05 × 6371000     		dr = 299.755549999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16442357-0.16447150) × cos(-0.19312438) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981409376086787 × 6371000     		do = 299.685159342905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16442357-0.16447150) × cos(-0.19317143) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.981400344876448 × 6371000     		du = 299.682401554182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19312438)-sin(-0.19317143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981409376086787-0.981400344876448)×R²
    abs(0.16447150-0.16442357)×9.03121033835053e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.03121033835053e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.03121033835053e-06×40589641000000     		ar = 89831.8764509946m²