Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68965 / 69701
↖ ↑ ↗
← S 11.364261°
E  9.418030°		 ← 299.44 m → S 11.364261°
E  9.420777°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
S 11.366953°
E  9.418030°		 ← 299.43 m →
89 643 m²		 S 11.366953°
E  9.420777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526165008544922 y=0.531780242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526165008544922 × 217)
    floor (0.526165008544922 × 131072)
    floor (68965.5)     		tx = 68965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531780242919922 × 217)
    floor (0.531780242919922 × 131072)
    floor (69701.5)     		ty = 69701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68965 / 69701 ti = "17/68965/69701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68965/69701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68965 ÷ 217
    68965 ÷ 131072     		x = 0.526161193847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69701 ÷ 217
    69701 ÷ 131072     		y = 0.531776428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526161193847656 × 2 - 1) × π
    0.0523223876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16437563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531776428222656 × 2 - 1) × π
    -0.0635528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.199657186917534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16437563} λ = 0.16437563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199657186917534))-π/2
    2×atan(0.819011472805603)-π/2
    2×0.686226280206644-π/2
    1.37245256041329-1.57079632675     		φ = -0.19834377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16437563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.418030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19834377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.364261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68965 KachelY 69701 0.16437563 -0.19834377 9.418030 -11.364261
    Oben rechts KachelX + 1 68966 KachelY 69701 0.16442357 -0.19834377 9.420777 -11.364261
    Unten links KachelX 68965 KachelY + 1 69702 0.16437563 -0.19839076 9.418030 -11.366953
    Unten rechts KachelX + 1 68966 KachelY + 1 69702 0.16442357 -0.19839076 9.420777 -11.366953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19834377--0.19839076) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19834377--0.19839076) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16437563-0.16442357) × cos(-0.19834377) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980394275587616 × 6371000     		do = 299.437647113089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16437563-0.16442357) × cos(-0.19839076) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980385015321054 × 6371000     		du = 299.434818789321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19834377)-sin(-0.19839076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980394275587616-0.980385015321054)×R²
    abs(0.16442357-0.16437563)×9.2602665618946e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.2602665618946e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.2602665618946e-06×40589641000000     		ar = 89643.2102203162m²