Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68963 / 69699
↖ ↑ ↗
← S 11.358875°
E  9.412536°		 ← 299.44 m → S 11.358875°
E  9.415283°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
S 11.361568°
E  9.412536°		 ← 299.44 m →
89 664 m²		 S 11.361568°
E  9.415283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526149749755859 y=0.531764984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526149749755859 × 217)
    floor (0.526149749755859 × 131072)
    floor (68963.5)     		tx = 68963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531764984130859 × 217)
    floor (0.531764984130859 × 131072)
    floor (69699.5)     		ty = 69699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68963 / 69699 ti = "17/68963/69699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68963/69699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68963 ÷ 217
    68963 ÷ 131072     		x = 0.526145935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69699 ÷ 217
    69699 ÷ 131072     		y = 0.531761169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526145935058594 × 2 - 1) × π
    0.0522918701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16427975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531761169433594 × 2 - 1) × π
    -0.0635223388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.199561313118294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16427975} λ = 0.16427975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199561313118294))-π/2
    2×atan(0.819089998311331)-π/2
    2×0.686273277712512-π/2
    1.37254655542502-1.57079632675     		φ = -0.19824977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16427975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.412536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19824977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.358875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68963 KachelY 69699 0.16427975 -0.19824977 9.412536 -11.358875
    Oben rechts KachelX + 1 68964 KachelY 69699 0.16432769 -0.19824977 9.415283 -11.358875
    Unten links KachelX 68963 KachelY + 1 69700 0.16427975 -0.19829677 9.412536 -11.361568
    Unten rechts KachelX + 1 68964 KachelY + 1 69700 0.16432769 -0.19829677 9.415283 -11.361568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19824977--0.19829677) × R
    4.70000000000192e-05 × 6371000     		dl = 299.437000000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19824977--0.19829677) × R
    4.70000000000192e-05 × 6371000     		dr = 299.437000000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16427975-0.16432769) × cos(-0.19824977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980412793565485 × 6371000     		do = 299.443302980183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16427975-0.16432769) × cos(-0.19829677) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980403535659406 × 6371000     		du = 299.440475377368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19824977)-sin(-0.19829677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980412793565485-0.980403535659406)×R²
    abs(0.16432769-0.16427975)×9.25790607875232e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.25790607875232e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.25790607875232e-06×40589641000000     		ar = 89663.9809865963m²