Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68963 / 69698
↖ ↑ ↗
← S 11.356182°
E  9.412536°		 ← 299.45 m → S 11.356182°
E  9.415283°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
S 11.358875°
E  9.412536°		 ← 299.44 m →
89 665 m²		 S 11.358875°
E  9.415283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526149749755859 y=0.531757354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526149749755859 × 217)
    floor (0.526149749755859 × 131072)
    floor (68963.5)     		tx = 68963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531757354736328 × 217)
    floor (0.531757354736328 × 131072)
    floor (69698.5)     		ty = 69698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68963 / 69698 ti = "17/68963/69698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68963/69698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68963 ÷ 217
    68963 ÷ 131072     		x = 0.526145935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69698 ÷ 217
    69698 ÷ 131072     		y = 0.531753540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526145935058594 × 2 - 1) × π
    0.0522918701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16427975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531753540039062 × 2 - 1) × π
    -0.063507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.199513376218674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16427975} λ = 0.16427975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199513376218674))-π/2
    2×atan(0.819129263887487)-π/2
    2×0.686296776798264-π/2
    1.37259355359653-1.57079632675     		φ = -0.19820277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16427975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.412536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19820277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.356182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68963 KachelY 69698 0.16427975 -0.19820277 9.412536 -11.356182
    Oben rechts KachelX + 1 68964 KachelY 69698 0.16432769 -0.19820277 9.415283 -11.356182
    Unten links KachelX 68963 KachelY + 1 69699 0.16427975 -0.19824977 9.412536 -11.358875
    Unten rechts KachelX + 1 68964 KachelY + 1 69699 0.16432769 -0.19824977 9.415283 -11.358875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19820277--0.19824977) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dl = 299.436999999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19820277--0.19824977) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dr = 299.436999999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16427975-0.16432769) × cos(-0.19820277) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980422049305832 × 6371000     		do = 299.446129921527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16427975-0.16432769) × cos(-0.19824977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980412793565485 × 6371000     		du = 299.443302980183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19820277)-sin(-0.19824977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980422049305832-0.980412793565485)×R²
    abs(0.16432769-0.16427975)×9.25574034693621e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.25574034693621e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.25574034693621e-06×40589641000000     		ar = 89664.8275763789m²