Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68958 / 69686
↖ ↑ ↗
← S 11.323867°
E  9.398804°		 ← 299.48 m → S 11.323867°
E  9.401550°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
S 11.326560°
E  9.398804°		 ← 299.48 m →
89 675 m²		 S 11.326560°
E  9.401550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526111602783203 y=0.531665802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526111602783203 × 217)
    floor (0.526111602783203 × 131072)
    floor (68958.5)     		tx = 68958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531665802001953 × 217)
    floor (0.531665802001953 × 131072)
    floor (69686.5)     		ty = 69686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68958 / 69686 ti = "17/68958/69686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68958/69686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68958 ÷ 217
    68958 ÷ 131072     		x = 0.526107788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69686 ÷ 217
    69686 ÷ 131072     		y = 0.531661987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526107788085938 × 2 - 1) × π
    0.052215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16404007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531661987304688 × 2 - 1) × π
    -0.063323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.198938133423233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16404007} λ = 0.16404007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198938133423233))-π/2
    2×atan(0.819600597647751)-π/2
    2×0.686578783114391-π/2
    1.37315756622878-1.57079632675     		φ = -0.19763876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16404007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.398804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19763876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.323867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68958 KachelY 69686 0.16404007 -0.19763876 9.398804 -11.323867
    Oben rechts KachelX + 1 68959 KachelY 69686 0.16408801 -0.19763876 9.401550 -11.323867
    Unten links KachelX 68958 KachelY + 1 69687 0.16404007 -0.19768576 9.398804 -11.326560
    Unten rechts KachelX + 1 68959 KachelY + 1 69687 0.16408801 -0.19768576 9.401550 -11.326560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19763876--0.19768576) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dl = 299.436999999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19763876--0.19768576) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dr = 299.436999999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16404007-0.16408801) × cos(-0.19763876) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980532951219018 × 6371000     		do = 299.48000222043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16404007-0.16408801) × cos(-0.19768576) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980523721469508 × 6371000     		du = 299.477183217355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19763876)-sin(-0.19768576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980532951219018-0.980523721469508)×R²
    abs(0.16408801-0.16404007)×9.22974951034217e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.22974951034217e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.22974951034217e-06×40589641000000     		ar = 89674.9713844383m²