Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68944 / 64752
↖ ↑ ↗
← N  2.152814°
E  9.360351°		 ← 305.21 m → N  2.152814°
E  9.363098°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
N  2.150069°
E  9.360351°		 ← 305.21 m →
93 161 m²		 N  2.150069°
E  9.363098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526004791259766 y=0.494022369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526004791259766 × 217)
    floor (0.526004791259766 × 131072)
    floor (68944.5)     		tx = 68944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494022369384766 × 217)
    floor (0.494022369384766 × 131072)
    floor (64752.5)     		ty = 64752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68944 / 64752 ti = "17/68944/64752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68944/64752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68944 ÷ 217
    68944 ÷ 131072     		x = 0.5260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64752 ÷ 217
    64752 ÷ 131072     		y = 0.4940185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5260009765625 × 2 - 1) × π
    0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4940185546875 × 2 - 1) × π
    0.011962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.037582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16336895} λ = 0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.037582529302124))-π/2
    2×atan(1.03829768352917)-π/2
    2×0.804185006000539-π/2
    1.60837001200108-1.57079632675     		φ = 0.03757369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03757369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.152814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68944 KachelY 64752 0.16336895 0.03757369 9.360351 2.152814
    Oben rechts KachelX + 1 68945 KachelY 64752 0.16341689 0.03757369 9.363098 2.152814
    Unten links KachelX 68944 KachelY + 1 64753 0.16336895 0.03752578 9.360351 2.150069
    Unten rechts KachelX + 1 68945 KachelY + 1 64753 0.16341689 0.03752578 9.363098 2.150069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03757369-0.03752578) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03757369-0.03752578) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16336895-0.16341689) × cos(0.03757369) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999294191953022 × 6371000     		do = 305.21016805493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16336895-0.16341689) × cos(0.03752578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999295990538094 × 6371000     		du = 305.210717389107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03757369)-sin(0.03752578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999294191953022-0.999295990538094)×R²
    abs(0.16341689-0.16336895)×1.79858507187713e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.79858507187713e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.79858507187713e-06×40589641000000     		ar = 93160.7904699953m²