Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68939 / 69323
↖ ↑ ↗
← S 10.344642°
E  9.346619°		 ← 300.46 m → S 10.344642°
E  9.349365°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.347344°
E  9.346619°		 ← 300.46 m →
90 275 m²		 S 10.347344°
E  9.349365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525966644287109 y=0.528896331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525966644287109 × 217)
    floor (0.525966644287109 × 131072)
    floor (68939.5)     		tx = 68939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528896331787109 × 217)
    floor (0.528896331787109 × 131072)
    floor (69323.5)     		ty = 69323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68939 / 69323 ti = "17/68939/69323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68939/69323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68939 ÷ 217
    68939 ÷ 131072     		x = 0.525962829589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69323 ÷ 217
    69323 ÷ 131072     		y = 0.528892517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525962829589844 × 2 - 1) × π
    0.0519256591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16312927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528892517089844 × 2 - 1) × π
    -0.0577850341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.181537038861153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16312927} λ = 0.16312927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181537038861153))-π/2
    2×atan(0.833987354789571)-π/2
    2×0.695124131942899-π/2
    1.3902482638858-1.57079632675     		φ = -0.18054806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16312927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.346619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18054806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.344642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68939 KachelY 69323 0.16312927 -0.18054806 9.346619 -10.344642
    Oben rechts KachelX + 1 68940 KachelY 69323 0.16317721 -0.18054806 9.349365 -10.344642
    Unten links KachelX 68939 KachelY + 1 69324 0.16312927 -0.18059522 9.346619 -10.347344
    Unten rechts KachelX + 1 68940 KachelY + 1 69324 0.16317721 -0.18059522 9.349365 -10.347344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18054806--0.18059522) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dl = 300.45635999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18054806--0.18059522) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dr = 300.45635999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16312927-0.16317721) × cos(-0.18054806) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983745426086577 × 6371000     		do = 300.461174734085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16312927-0.16317721) × cos(-0.18059522) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983736956530284 × 6371000     		du = 300.458587913587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18054806)-sin(-0.18059522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983745426086577-0.983736956530284)×R²
    abs(0.16317721-0.16312927)×8.46955629296708e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.46955629296708e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.46955629296708e-06×40589641000000     		ar = 90275.0822852878m²