Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68938 / 69322
↖ ↑ ↗
← S 10.341940°
E  9.343872°		 ← 300.46 m → S 10.341940°
E  9.346619°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.344642°
E  9.343872°		 ← 300.46 m →
90 276 m²		 S 10.344642°
E  9.346619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525959014892578 y=0.528888702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525959014892578 × 217)
    floor (0.525959014892578 × 131072)
    floor (68938.5)     		tx = 68938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528888702392578 × 217)
    floor (0.528888702392578 × 131072)
    floor (69322.5)     		ty = 69322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68938 / 69322 ti = "17/68938/69322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68938/69322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68938 ÷ 217
    68938 ÷ 131072     		x = 0.525955200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69322 ÷ 217
    69322 ÷ 131072     		y = 0.528884887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525955200195312 × 2 - 1) × π
    0.051910400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16308133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528884887695312 × 2 - 1) × π
    -0.057769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.181489101961533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16308133} λ = 0.16308133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181489101961533))-π/2
    2×atan(0.834027334515927)-π/2
    2×0.695147710897232-π/2
    1.39029542179446-1.57079632675     		φ = -0.18050090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16308133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.343872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18050090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.341940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68938 KachelY 69322 0.16308133 -0.18050090 9.343872 -10.341940
    Oben rechts KachelX + 1 68939 KachelY 69322 0.16312927 -0.18050090 9.346619 -10.341940
    Unten links KachelX 68938 KachelY + 1 69323 0.16308133 -0.18054806 9.343872 -10.344642
    Unten rechts KachelX + 1 68939 KachelY + 1 69323 0.16312927 -0.18054806 9.346619 -10.344642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18050090--0.18054806) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18050090--0.18054806) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16308133-0.16312927) × cos(-0.18050090) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983753893454955 × 6371000     		do = 300.463760886338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16308133-0.16312927) × cos(-0.18054806) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983745426086577 × 6371000     		du = 300.461174734085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18050090)-sin(-0.18054806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983753893454955-0.983745426086577)×R²
    abs(0.16312927-0.16308133)×8.46736837856188e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.46736837856188e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.46736837856188e-06×40589641000000     		ar = 90275.8594116581m²