Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68933 / 44020
↖ ↑ ↗
← N 50.757310°
E  9.330139°		 ← 193.17 m → N 50.757310°
E  9.332885°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
N 50.755572°
E  9.330139°		 ← 193.18 m →
37 328 m²		 N 50.755572°
E  9.332885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525920867919922 y=0.335849761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525920867919922 × 217)
    floor (0.525920867919922 × 131072)
    floor (68933.5)     		tx = 68933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335849761962891 × 217)
    floor (0.335849761962891 × 131072)
    floor (44020.5)     		ty = 44020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68933 / 44020 ti = "17/68933/44020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68933/44020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68933 ÷ 217
    68933 ÷ 131072     		x = 0.525917053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44020 ÷ 217
    44020 ÷ 131072     		y = 0.335845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525917053222656 × 2 - 1) × π
    0.0518341064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16284165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335845947265625 × 2 - 1) × π
    0.32830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03141033222513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16284165} λ = 0.16284165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03141033222513))-π/2
    2×atan(2.80501905513229)-π/2
    2×1.22833925155941-π/2
    2.45667850311883-1.57079632675     		φ = 0.88588218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16284165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.330139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88588218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.757310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68933 KachelY 44020 0.16284165 0.88588218 9.330139 50.757310
    Oben rechts KachelX + 1 68934 KachelY 44020 0.16288958 0.88588218 9.332885 50.757310
    Unten links KachelX 68933 KachelY + 1 44021 0.16284165 0.88585185 9.330139 50.755572
    Unten rechts KachelX + 1 68934 KachelY + 1 44021 0.16288958 0.88585185 9.332885 50.755572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88588218-0.88585185) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88588218-0.88585185) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16284165-0.16288958) × cos(0.88588218) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.632606522827538 × 6371000     		do = 193.174012001865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16284165-0.16288958) × cos(0.88585185) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.63263001231361 × 6371000     		du = 193.181184799015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88588218)-sin(0.88585185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632606522827538-0.63263001231361)×R²
    abs(0.16288958-0.16284165)×2.34894860726698e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34894860726698e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34894860726698e-05×40589641000000     		ar = 37328.1767635004m²