Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68930 / 72370
↖ ↑ ↗
← S 18.443136°
E  9.321900°		 ← 289.68 m → S 18.443136°
E  9.324646°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
S 18.445741°
E  9.321900°		 ← 289.67 m →
83 934 m²		 S 18.445741°
E  9.324646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525897979736328 y=0.552143096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525897979736328 × 217)
    floor (0.525897979736328 × 131072)
    floor (68930.5)     		tx = 68930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552143096923828 × 217)
    floor (0.552143096923828 × 131072)
    floor (72370.5)     		ty = 72370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68930 / 72370 ti = "17/68930/72370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68930/72370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68930 ÷ 217
    68930 ÷ 131072     		x = 0.525894165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72370 ÷ 217
    72370 ÷ 131072     		y = 0.552139282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525894165039062 × 2 - 1) × π
    0.051788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16269784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552139282226562 × 2 - 1) × π
    -0.104278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.327600772003464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16269784} λ = 0.16269784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327600772003464))-π/2
    2×atan(0.720650666204884)-π/2
    2×0.624451441723901-π/2
    1.2489028834478-1.57079632675     		φ = -0.32189344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16269784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.321900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32189344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.443136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68930 KachelY 72370 0.16269784 -0.32189344 9.321900 -18.443136
    Oben rechts KachelX + 1 68931 KachelY 72370 0.16274577 -0.32189344 9.324646 -18.443136
    Unten links KachelX 68930 KachelY + 1 72371 0.16269784 -0.32193892 9.321900 -18.445741
    Unten rechts KachelX + 1 68931 KachelY + 1 72371 0.16274577 -0.32193892 9.324646 -18.445741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32189344--0.32193892) × R
    4.54800000000422e-05 × 6371000     		dl = 289.753080000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32189344--0.32193892) × R
    4.54800000000422e-05 × 6371000     		dr = 289.753080000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16269784-0.16274577) × cos(-0.32189344) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948638103971222 × 6371000     		do = 289.678057164013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16269784-0.16274577) × cos(-0.32193892) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.948623714786521 × 6371000     		du = 289.673663253363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32189344)-sin(-0.32193892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948638103971222-0.948623714786521)×R²
    abs(0.16274577-0.16269784)×1.43891847014244e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43891847014244e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43891847014244e-05×40589641000000     		ar = 83934.4727116388m²