Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68930 / 69316
↖ ↑ ↗
← S 10.325728°
E  9.321900°		 ← 300.42 m → S 10.325728°
E  9.324646°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.328430°
E  9.321900°		 ← 300.41 m →
90 262 m²		 S 10.328430°
E  9.324646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525897979736328 y=0.528842926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525897979736328 × 217)
    floor (0.525897979736328 × 131072)
    floor (68930.5)     		tx = 68930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528842926025391 × 217)
    floor (0.528842926025391 × 131072)
    floor (69316.5)     		ty = 69316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68930 / 69316 ti = "17/68930/69316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68930/69316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68930 ÷ 217
    68930 ÷ 131072     		x = 0.525894165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69316 ÷ 217
    69316 ÷ 131072     		y = 0.528839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525894165039062 × 2 - 1) × π
    0.051788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16269784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.05767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.181201480563812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16269784} λ = 0.16269784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181201480563812))-π/2
    2×atan(0.834267253124826)-π/2
    2×0.695289188882679-π/2
    1.39057837776536-1.57079632675     		φ = -0.18021795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16269784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.321900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18021795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.325728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68930 KachelY 69316 0.16269784 -0.18021795 9.321900 -10.325728
    Oben rechts KachelX + 1 68931 KachelY 69316 0.16274577 -0.18021795 9.324646 -10.325728
    Unten links KachelX 68930 KachelY + 1 69317 0.16269784 -0.18026511 9.321900 -10.328430
    Unten rechts KachelX + 1 68931 KachelY + 1 69317 0.16274577 -0.18026511 9.324646 -10.328430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18021795--0.18026511) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dl = 300.456360000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18021795--0.18026511) × R
    4.71600000000183e-05 × 6371000     		dr = 300.456360000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16269784-0.16274577) × cos(-0.18021795) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983804649925531 × 6371000     		do = 300.416585024709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16269784-0.16274577) × cos(-0.18026511) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98379619568457 × 6371000     		du = 300.414003420527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18021795)-sin(-0.18026511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983804649925531-0.98379619568457)×R²
    abs(0.16274577-0.16269784)×8.4542409610755e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.4542409610755e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.4542409610755e-06×40589641000000     		ar = 90261.685807254m²