Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68925 / 64917
↖ ↑ ↗
← N  1.699885°
E  9.308166°		 ← 305.29 m → N  1.699885°
E  9.310913°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.697139°
E  9.308166°		 ← 305.29 m →
93 205 m²		 N  1.697139°
E  9.310913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525859832763672 y=0.495281219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525859832763672 × 217)
    floor (0.525859832763672 × 131072)
    floor (68925.5)     		tx = 68925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495281219482422 × 217)
    floor (0.495281219482422 × 131072)
    floor (64917.5)     		ty = 64917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68925 / 64917 ti = "17/68925/64917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68925/64917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68925 ÷ 217
    68925 ÷ 131072     		x = 0.525856018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64917 ÷ 217
    64917 ÷ 131072     		y = 0.495277404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525856018066406 × 2 - 1) × π
    0.0517120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16245815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495277404785156 × 2 - 1) × π
    0.0094451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0296729408648148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16245815} λ = 0.16245815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0296729408648148))-π/2
    2×atan(1.03011756949145)-π/2
    2×0.800232457097946-π/2
    1.60046491419589-1.57079632675     		φ = 0.02966859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16245815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.308166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02966859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.699885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68925 KachelY 64917 0.16245815 0.02966859 9.308166 1.699885
    Oben rechts KachelX + 1 68926 KachelY 64917 0.16250609 0.02966859 9.310913 1.699885
    Unten links KachelX 68925 KachelY + 1 64918 0.16245815 0.02962067 9.308166 1.697139
    Unten rechts KachelX + 1 68926 KachelY + 1 64918 0.16250609 0.02962067 9.310913 1.697139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02966859-0.02962067) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02966859-0.02962067) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16245815-0.16250609) × cos(0.02966859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999559919665945 × 6371000     		do = 305.291328138288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16245815-0.16250609) × cos(0.02962067) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999561340028556 × 6371000     		du = 305.29176195359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02966859)-sin(0.02962067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999559919665945-0.999561340028556)×R²
    abs(0.16250609-0.16245815)×1.42036261141509e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.42036261141509e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.42036261141509e-06×40589641000000     		ar = 93204.9958305664m²