Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68924 / 73004
↖ ↑ ↗
← S 20.086888°
E  9.305420°		 ← 286.79 m → S 20.086888°
E  9.308166°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
S 20.089468°
E  9.305420°		 ← 286.78 m →
82 256 m²		 S 20.089468°
E  9.308166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525852203369141 y=0.556980133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525852203369141 × 217)
    floor (0.525852203369141 × 131072)
    floor (68924.5)     		tx = 68924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556980133056641 × 217)
    floor (0.556980133056641 × 131072)
    floor (73004.5)     		ty = 73004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68924 / 73004 ti = "17/68924/73004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68924/73004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68924 ÷ 217
    68924 ÷ 131072     		x = 0.525848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73004 ÷ 217
    73004 ÷ 131072     		y = 0.556976318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525848388671875 × 2 - 1) × π
    0.05169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16241022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556976318359375 × 2 - 1) × π
    -0.11395263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.357992766362579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16241022} λ = 0.16241022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357992766362579))-π/2
    2×atan(0.69907813186597)-π/2
    2×0.610106992950732-π/2
    1.22021398590146-1.57079632675     		φ = -0.35058234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16241022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.305420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35058234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.086888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68924 KachelY 73004 0.16241022 -0.35058234 9.305420 -20.086888
    Oben rechts KachelX + 1 68925 KachelY 73004 0.16245815 -0.35058234 9.308166 -20.086888
    Unten links KachelX 68924 KachelY + 1 73005 0.16241022 -0.35062736 9.305420 -20.089468
    Unten rechts KachelX + 1 68925 KachelY + 1 73005 0.16245815 -0.35062736 9.308166 -20.089468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35058234--0.35062736) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35058234--0.35062736) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16241022-0.16245815) × cos(-0.35058234) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.939172870469497 × 6371000     		do = 286.787734247502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16241022-0.16245815) × cos(-0.35062736) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.939157407633587 × 6371000     		du = 286.783012484539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35058234)-sin(-0.35062736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939172870469497-0.939157407633587)×R²
    abs(0.16245815-0.16241022)×1.54628359099185e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.54628359099185e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54628359099185e-05×40589641000000     		ar = 82256.4748234243m²