Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68924 / 64919
↖ ↑ ↗
← N  1.694394°
E  9.305420°		 ← 305.23 m → N  1.694394°
E  9.308166°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.691649°
E  9.305420°		 ← 305.23 m →
93 186 m²		 N  1.691649°
E  9.308166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525852203369141 y=0.495296478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525852203369141 × 217)
    floor (0.525852203369141 × 131072)
    floor (68924.5)     		tx = 68924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495296478271484 × 217)
    floor (0.495296478271484 × 131072)
    floor (64919.5)     		ty = 64919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68924 / 64919 ti = "17/68924/64919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68924/64919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68924 ÷ 217
    68924 ÷ 131072     		x = 0.525848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64919 ÷ 217
    64919 ÷ 131072     		y = 0.495292663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525848388671875 × 2 - 1) × π
    0.05169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16241022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495292663574219 × 2 - 1) × π
    0.0094146728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0295770670655746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16241022} λ = 0.16241022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0295770670655746))-π/2
    2×atan(1.03001881294056)-π/2
    2×0.800184541226345-π/2
    1.60036908245269-1.57079632675     		φ = 0.02957276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16241022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.305420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02957276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.694394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68924 KachelY 64919 0.16241022 0.02957276 9.305420 1.694394
    Oben rechts KachelX + 1 68925 KachelY 64919 0.16245815 0.02957276 9.308166 1.694394
    Unten links KachelX 68924 KachelY + 1 64920 0.16241022 0.02952484 9.305420 1.691649
    Unten rechts KachelX + 1 68925 KachelY + 1 64920 0.16245815 0.02952484 9.308166 1.691649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02957276-0.02952484) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02957276-0.02952484) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16241022-0.16245815) × cos(0.02957276) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999562757800164 × 6371000     		do = 305.228512834266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16241022-0.16245815) × cos(0.02952484) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999564173572613 × 6371000     		du = 305.228945157415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02957276)-sin(0.02952484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999562757800164-0.999564173572613)×R²
    abs(0.16245815-0.16241022)×1.41577244894275e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.41577244894275e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.41577244894275e-06×40589641000000     		ar = 93185.8181959979m²