Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68924 / 44137
↖ ↑ ↗
← N 50.553580°
E  9.305420°		 ← 194.01 m → N 50.553580°
E  9.308166°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
N 50.551835°
E  9.305420°		 ← 194.02 m →
37 651 m²		 N 50.551835°
E  9.308166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525852203369141 y=0.336742401123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525852203369141 × 217)
    floor (0.525852203369141 × 131072)
    floor (68924.5)     		tx = 68924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336742401123047 × 217)
    floor (0.336742401123047 × 131072)
    floor (44137.5)     		ty = 44137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68924 / 44137 ti = "17/68924/44137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68924/44137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68924 ÷ 217
    68924 ÷ 131072     		x = 0.525848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44137 ÷ 217
    44137 ÷ 131072     		y = 0.336738586425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525848388671875 × 2 - 1) × π
    0.05169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16241022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336738586425781 × 2 - 1) × π
    0.326522827148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.02580171496958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16241022} λ = 0.16241022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02580171496958))-π/2
    2×atan(2.78933081265613)-π/2
    2×1.22656137284332-π/2
    2.45312274568665-1.57079632675     		φ = 0.88232642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16241022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.305420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88232642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.553580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68924 KachelY 44137 0.16241022 0.88232642 9.305420 50.553580
    Oben rechts KachelX + 1 68925 KachelY 44137 0.16245815 0.88232642 9.308166 50.553580
    Unten links KachelX 68924 KachelY + 1 44138 0.16241022 0.88229596 9.305420 50.551835
    Unten rechts KachelX + 1 68925 KachelY + 1 44138 0.16245815 0.88229596 9.308166 50.551835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88232642-0.88229596) × R
    3.04599999999544e-05 × 6371000     		dl = 194.06065999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88232642-0.88229596) × R
    3.04599999999544e-05 × 6371000     		dr = 194.06065999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16241022-0.16245815) × cos(0.88232642) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.635356359269846 × 6371000     		do = 194.013707640056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16241022-0.16245815) × cos(0.88229596) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.635379880768062 × 6371000     		du = 194.0208902125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88232642)-sin(0.88229596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635356359269846-0.635379880768062)×R²
    abs(0.16245815-0.16241022)×2.35214982150511e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35214982150511e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35214982150511e-05×40589641000000     		ar = 37651.1250838796m²