Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68922 / 64890
↖ ↑ ↗
← N  1.774009°
E  9.299927°		 ← 305.28 m → N  1.774009°
E  9.302673°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
N  1.771263°
E  9.299927°		 ← 305.28 m →
93 201 m²		 N  1.771263°
E  9.302673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525836944580078 y=0.495075225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525836944580078 × 217)
    floor (0.525836944580078 × 131072)
    floor (68922.5)     		tx = 68922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495075225830078 × 217)
    floor (0.495075225830078 × 131072)
    floor (64890.5)     		ty = 64890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68922 / 64890 ti = "17/68922/64890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68922/64890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68922 ÷ 217
    68922 ÷ 131072     		x = 0.525833129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64890 ÷ 217
    64890 ÷ 131072     		y = 0.495071411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525833129882812 × 2 - 1) × π
    0.051666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16231434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495071411132812 × 2 - 1) × π
    0.009857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0309672371545563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16231434} λ = 0.16231434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0309672371545563))-π/2
    2×atan(1.03145171003998)-π/2
    2×0.800879307847481-π/2
    1.60175861569496-1.57079632675     		φ = 0.03096229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16231434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.299927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03096229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.774009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68922 KachelY 64890 0.16231434 0.03096229 9.299927 1.774009
    Oben rechts KachelX + 1 68923 KachelY 64890 0.16236228 0.03096229 9.302673 1.774009
    Unten links KachelX 68922 KachelY + 1 64891 0.16231434 0.03091437 9.299927 1.771263
    Unten rechts KachelX + 1 68923 KachelY + 1 64891 0.16236228 0.03091437 9.302673 1.771263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03096229-0.03091437) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03096229-0.03091437) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16231434-0.16236228) × cos(0.03096229) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999520706590901 × 6371000     		do = 305.279351455825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16231434-0.16236228) × cos(0.03091437) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999522188919172 × 6371000     		du = 305.279804197035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03096229)-sin(0.03091437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999520706590901-0.999522188919172)×R²
    abs(0.16236228-0.16231434)×1.48232827124062e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.48232827124062e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48232827124062e-06×40589641000000     		ar = 93201.3422585482m²