Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68921 / 73001
↖ ↑ ↗
← S 20.079150°
E  9.297180°		 ← 286.80 m → S 20.079150°
E  9.299927°		 →
↑
286.89 m
↓
↑
286.89 m
↓
S 20.081730°
E  9.297180°		 ← 286.80 m →
82 279 m²		 S 20.081730°
E  9.299927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525829315185547 y=0.556957244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525829315185547 × 217)
    floor (0.525829315185547 × 131072)
    floor (68921.5)     		tx = 68921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556957244873047 × 217)
    floor (0.556957244873047 × 131072)
    floor (73001.5)     		ty = 73001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68921 / 73001 ti = "17/68921/73001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68921/73001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68921 ÷ 217
    68921 ÷ 131072     		x = 0.525825500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73001 ÷ 217
    73001 ÷ 131072     		y = 0.556953430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525825500488281 × 2 - 1) × π
    0.0516510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16226641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556953430175781 × 2 - 1) × π
    -0.113906860351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.357848955663719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16226641} λ = 0.16226641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357848955663719))-π/2
    2×atan(0.699178674010017)-π/2
    2×0.610174526171685-π/2
    1.22034905234337-1.57079632675     		φ = -0.35044727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16226641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.297180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35044727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.079150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68921 KachelY 73001 0.16226641 -0.35044727 9.297180 -20.079150
    Oben rechts KachelX + 1 68922 KachelY 73001 0.16231434 -0.35044727 9.299927 -20.079150
    Unten links KachelX 68921 KachelY + 1 73002 0.16226641 -0.35049230 9.297180 -20.081730
    Unten rechts KachelX + 1 68922 KachelY + 1 73002 0.16231434 -0.35049230 9.299927 -20.081730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35044727--0.35049230) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dl = 286.886130000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35044727--0.35049230) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dr = 286.886130000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16226641-0.16231434) × cos(-0.35044727) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.939219250989185 × 6371000     		do = 286.801897097147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16226641-0.16231434) × cos(-0.35049230) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.939203790430738 × 6371000     		du = 286.797176029634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35044727)-sin(-0.35049230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939219250989185-0.939203790430738)×R²
    abs(0.16231434-0.16226641)×1.54605584473666e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.54605584473666e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54605584473666e-05×40589641000000     		ar = 82278.8091443931m²