Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68918 / 72985
↖ ↑ ↗
← S 20.037870°
E  9.288940°		 ← 286.94 m → S 20.037870°
E  9.291687°		 →
↑
286.89 m
↓
↑
286.89 m
↓
S 20.040450°
E  9.288940°		 ← 286.93 m →
82 318 m²		 S 20.040450°
E  9.291687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525806427001953 y=0.556835174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525806427001953 × 217)
    floor (0.525806427001953 × 131072)
    floor (68918.5)     		tx = 68918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556835174560547 × 217)
    floor (0.556835174560547 × 131072)
    floor (72985.5)     		ty = 72985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68918 / 72985 ti = "17/68918/72985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68918/72985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68918 ÷ 217
    68918 ÷ 131072     		x = 0.525802612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72985 ÷ 217
    72985 ÷ 131072     		y = 0.556831359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525802612304688 × 2 - 1) × π
    0.051605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16212259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556831359863281 × 2 - 1) × π
    -0.113662719726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.357081965269798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16212259} λ = 0.16212259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357081965269798))-π/2
    2×atan(0.699715143043615)-π/2
    2×0.610534759638124-π/2
    1.22106951927625-1.57079632675     		φ = -0.34972681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16212259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.288940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34972681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.037870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68918 KachelY 72985 0.16212259 -0.34972681 9.288940 -20.037870
    Oben rechts KachelX + 1 68919 KachelY 72985 0.16217053 -0.34972681 9.291687 -20.037870
    Unten links KachelX 68918 KachelY + 1 72986 0.16212259 -0.34977184 9.288940 -20.040450
    Unten rechts KachelX + 1 68919 KachelY + 1 72986 0.16217053 -0.34977184 9.291687 -20.040450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34972681--0.34977184) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dl = 286.886130000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34972681--0.34977184) × R
    4.50300000000015e-05 × 6371000     		dr = 286.886130000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16212259-0.16217053) × cos(-0.34972681) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939466354044236 × 6371000     		do = 286.937206389041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16212259-0.16217053) × cos(-0.34977184) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.939450923959993 × 6371000     		du = 286.932493644143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34972681)-sin(-0.34977184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939466354044236-0.939450923959993)×R²
    abs(0.16217053-0.16212259)×1.54300842425403e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.54300842425403e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.54300842425403e-05×40589641000000     		ar = 82317.6286972847m²