Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68918 / 69840
↖ ↑ ↗
← S 11.738302°
E  9.288940°		 ← 299.04 m → S 11.738302°
E  9.291687°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
S 11.740992°
E  9.288940°		 ← 299.04 m →
89 428 m²		 S 11.740992°
E  9.291687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68918 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525806427001953 y=0.532840728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525806427001953 × 217)
    floor (0.525806427001953 × 131072)
    floor (68918.5)     		tx = 68918
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532840728759766 × 217)
    floor (0.532840728759766 × 131072)
    floor (69840.5)     		ty = 69840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68918 / 69840 ti = "17/68918/69840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68918/69840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68918 ÷ 217
    68918 ÷ 131072     		x = 0.525802612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69840 ÷ 217
    69840 ÷ 131072     		y = 0.5328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525802612304688 × 2 - 1) × π
    0.051605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16212259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.206320415964722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16212259} λ = 0.16212259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206320415964722))-π/2
    2×atan(0.813572352944852)-π/2
    2×0.68296215091222-π/2
    1.36592430182444-1.57079632675     		φ = -0.20487202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16212259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.288940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20487202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.738302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68918 KachelY 69840 0.16212259 -0.20487202 9.288940 -11.738302
    Oben rechts KachelX + 1 68919 KachelY 69840 0.16217053 -0.20487202 9.291687 -11.738302
    Unten links KachelX 68918 KachelY + 1 69841 0.16212259 -0.20491896 9.288940 -11.740992
    Unten rechts KachelX + 1 68919 KachelY + 1 69841 0.16217053 -0.20491896 9.291687 -11.740992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20487202--0.20491896) × R
    4.69400000000231e-05 × 6371000     		dl = 299.054740000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20487202--0.20491896) × R
    4.69400000000231e-05 × 6371000     		dr = 299.054740000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16212259-0.16217053) × cos(-0.20487202) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979087029026597 × 6371000     		do = 299.038380364827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16212259-0.16217053) × cos(-0.20491896) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.979077478387143 × 6371000     		du = 299.035463353704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20487202)-sin(-0.20491896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979087029026597-0.979077478387143)×R²
    abs(0.16217053-0.16212259)×9.55063945395906e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.55063945395906e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.55063945395906e-06×40589641000000     		ar = 89428.4089335126m²