Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68917 / 73022
↖ ↑ ↗
← S 20.133313°
E  9.286194°		 ← 286.70 m → S 20.133313°
E  9.288940°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
S 20.135892°
E  9.286194°		 ← 286.70 m →
82 214 m²		 S 20.135892°
E  9.288940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525798797607422 y=0.557117462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525798797607422 × 217)
    floor (0.525798797607422 × 131072)
    floor (68917.5)     		tx = 68917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557117462158203 × 217)
    floor (0.557117462158203 × 131072)
    floor (73022.5)     		ty = 73022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68917 / 73022 ti = "17/68917/73022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68917/73022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68917 ÷ 217
    68917 ÷ 131072     		x = 0.525794982910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73022 ÷ 217
    73022 ÷ 131072     		y = 0.557113647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525794982910156 × 2 - 1) × π
    0.0515899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16207466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557113647460938 × 2 - 1) × π
    -0.114227294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.35885563055574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16207466} λ = 0.16207466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35885563055574))-π/2
    2×atan(0.69847518254686)-π/2
    2×0.609701863706867-π/2
    1.21940372741373-1.57079632675     		φ = -0.35139260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16207466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.286194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35139260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.133313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68917 KachelY 73022 0.16207466 -0.35139260 9.286194 -20.133313
    Oben rechts KachelX + 1 68918 KachelY 73022 0.16212259 -0.35139260 9.288940 -20.133313
    Unten links KachelX 68917 KachelY + 1 73023 0.16207466 -0.35143761 9.286194 -20.135892
    Unten rechts KachelX + 1 68918 KachelY + 1 73023 0.16212259 -0.35143761 9.288940 -20.135892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35139260--0.35143761) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35139260--0.35143761) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16207466-0.16212259) × cos(-0.35139260) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.938894282636131 × 6371000     		do = 286.702664101172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16207466-0.16212259) × cos(-0.35143761) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.938878788989003 × 6371000     		du = 286.697932929633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35139260)-sin(-0.35143761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938894282636131-0.938878788989003)×R²
    abs(0.16212259-0.16207466)×1.54936471281619e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.54936471281619e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54936471281619e-05×40589641000000     		ar = 82213.8077727939m²